Заряженные поля

Для осуществления намеченной программы необходимо начать с обобщения модуля -гладких спинорных полей), введенного в гл. 2, которым ограничивались наши построения до сих пор. Теперь необходимо для каждого значения заряда иметь отдельный экземпляр спинорного модуля причем производная должна действовать различным образом в каждом из них. Поэтому введем заряженные модули

(для каждого заряда ) -гладких заряженных спинорных полей. Первоначально введенная система (гл. 2, § 5) будет соответствовать отсутствию заряда Заряд поля в принципе может быть выбран равным любому действительному (возможно, и комплексному) числу, но по ряду причин мы ограничимся целыми кратными некоторого ненулевого действительного числа элементарного заряда. Таким образом, будет принимать значения

Существенным в дальнейших рассуждениях будет то, что элементы модуля при некотором не принимают численных значений в точках Р многообразия Всякий модуль представляет собой абстрактное одномерное аддитивное комплексное векторное пространство, имеющее нулевой элемент, но не обладающее канонически определенным единичным элементом. Отсутствует также и канонически определенная связь между в двух разных точках (однако -гладкая связь между соседними обеспечивается каждым элементом модуля Тем не менее, так же как 4-вектор можно задать четырьмя числовыми скалярами, выбрав некоторый базис, так и элементы модуля , например, можно задать числовыми скалярами, выбрав некоторую «калибровку» (см. ниже).

Некоторые другие свойства незаряженных полей также не имеют осмысленного аналога в случае заряженных полей. Например, условие действительности (в точке) для заряженного скалярного или тензорного поля должно означать, что разность этого поля и комплексно-сопряженного ему равна нулю. Однако сопряженное поле имеет заряд противоположного знака, и, согласно постулатам, к которым мы сейчас перейдем, его нельзя вычесть из исходного. По близкой, причине заряженный спин-вектор не может быть представлен обычным образом в виде флага при отличном от нуля заряде, так как при этом в

выражении (3.2.9) пришлось бы складывать величины, относящиеся к противоположным зарядам.

Что касается алгебраических свойств модуля то мы потребуем, чтобы ко всем элементам заряженных модулей (5.1.3) можно было применять операции сложения, тензорного умножения, свертки, замены индексов и комплексного сопряжения, как и ранее, в соответствии с общими алгебраическими правилами, приведенными в гл. 2, § 5, но со следующими оговорками:

Два заряженных спинорных поля можно складывать в том и только в том случае, если их заряды равны, сумма имеет тот же заряд, что и составляющие.

Тензорное произведение двух заряженных спинорных полей имеет смысл при любых значениях зарядов-, заряд произведения полей равен сумме зарядов каждого из них.

К заряженным спинорным полям может применяться операция свертки без изменения значения заряда.

К заряженным спинорным полям также может применяться без изменения величины заряда операция замены индексов.

При комплексном сопряжении заряженного спинорного поля изменяется знак заряда.

Необходимость этих дополнительных постулатов становится ясной, если рассмотреть действие оператора (5.1.1) (где да — элементарная ковариантная производная) на суммы, произведения и т. д. и потребовать выполнения обычного условия аддитивности и правил Лейбница (4.4.16), (4.4.17), Дополнительно мы потребуем, чтобы оператор сохранял заряд спинорного поля, на которое он действует, т. е. осуществлял отображение

для каждого заряда и любого собирательного индекса и чтобы этот оператор коммутировал с операциями замены индексов, свертки и комплексного сопряжения, как и в случае (4.4.18) — (4.4.20). Такой оператор фактически однозначно и

непротиворечиво определен своим действием на незаряженные поля (для которых в силу принятых аксиом он будет элементарной ковариантной производной), коль скоро было задано свойство

Действительно, если (где а всюду отлично от нуля, целое число), то в силу правил Лейбница и аддитивности будем иметь

где поле имеет нулевой заряд и, следовательно, в силу сделанных предположений его производная известна, так же как и производная от а. Требования, которые должны выполняться в силу (5.1.10), сводятся к следующему:

Подчеркнем, что, поскольку величины определены как принадлежащие незаряженным модулям полей, оператор действует на них как элементарная ковариантная производная и дает нуль.