Поля, соответствующие произвольным изотропным данным

Чтобы оправдать термин «фоновое поле», мы покажем, что поле, построенное согласно формуле (5.12.6) с произвольным изотропным значением на изотропной начальной гиперповерхности действительно удовлетворяет соответствующим полевым уравнениям (5.12.3) или (5.12.4) при варьировании точки Р. Это будет означать, что опережающее и запаздывающее фоновые поля (так, как они были определены) оба автоматически являются свободными безмассовыми полями.

Наше исследование справедливости формулы (5.12.6) даже было бы не совсем полным без такого доказательства. Мы установили лишь условие согласованности, которое должно выполняться для любого безмассового свободного поля. Но мы еще не доказали, что при произвольном изотропном значении формула (5.12.6) всегда дает такое поле. Это приводит к трудностям, если мы требуем, чтобы построенное поле было гладким на самой начальной изотропной гиперповерхности Дело в том, что обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара вырождается в тех точках, где 2-поверхность стягивается в отрезок образующей поверхности начинающийся в точке Р и кончающийся в сингулярной точке (рис. 5.8). Если не позаботиться об условиях согласованности, которые должны выполняться в определенных сингулярных точках такого типа на (а при нам в сингулярных «точках пересечения» вообще говоря, будут необходимы даже дополнительные компоненты то мы можем получить поле которое не будет гладким на Напомним, что из сказанного в конце § 11 следует, что если — световой конус, то изотропное значение должно иметь определенное поведение в вершине, чтобы поле было аналитично., Еслй же начальное значение не обладает этим общим типом поведения, то вычисленное по формуле (5.12.6) поле будет иметь сингулярности на хотя и не будет иметь их внутри

Вопрос о регулярности поля на выходит за рамки нашей книгн. Здесь мы только покажем, что достаточно далеко от (т. е. «внутри» ) поле действительно удовлетворяет

Рис. 5.8. Когда точка Р приближается к , 2-поверхность вырождается в отрезок образующей светового конуса

Рис. 5.9. К соотношению (5.12.41).

уравнениям (5.12.3) или (5.12.4). В явной форме вычисления будут проведены для пространства М. Результат для конформно-плоского пространства-времени можно получить путем конформного изменения масштаба. Пусть О — произвольно фиксированное начало координат в пространстве М, а — вектор положения точки Р относительно начала О. Для удобства выберем спинор постоянным вдоль любой образующей гиперповерхности и свяжем с ним аффинный (т. е. линейный) параметр (рис. 5.9). Тогда, если Н — точка на образующей в которой типичная точка на с параметром то мы имеем

Обозначив вектор, характеризующий положение точки Н, через напишем (см. рис. 5.9)

(где спинор можно рассматривать как величину, постоянную вдоль При фиксированном положении образующей и меняющемся положении точки Р величины будут функциями переменной постоянно). Поэтому дифференцирование выражения (5.12.41) по дает

Свертывая обе части этого равенства с гл, получаем

а свертка с дает

поскольку из равенства следует, что

Далее, если свернуть выражение (5.12.42) с и воспользоваться равенством (5.12.45), получим

Из соотношения (5.12.43) следует, что любая величина заданная на удовлетворяет уравнению

[формулы (5.12.9), (5.12.10); здесь так как спинор постоянен вдоль Следовательно, на основании (4.11.12а) получаем

Кроме того, имеем (проще всего это получить, исходя из интерпретации параметра как «конвергенции», гл. 7 § 1)

Таким образом, применяя оператор к выражению (5.12.6) (и учитывая, что в случае величины, заданной в точке Р, этот оператор сводится к получим, используя соотношения (5.12.44) и

(в пространстве Минковского М). Данное выражение очевидным образом симметрично по индексам , что указывает на выполнение уравнения (5.12.3) при . В случае

нужно еще раз продифференцировать выражение (5.12.50), чтобы убедиться в выполнении уравнения (5.12.4).

Этим завершается доказательство того, что формула (5.12.6) всегда дает безмассовое свободное поле в пространстве М при произвольном выборе изотропных данных на если точка Р лежит в области, для которой Ф поперечно пересекается с по гладкой замкнутой поверхности (в действительности, с необходимостью имеющей топологию сферы ). В частности, этот вывод относится и к запаздывающему и опережающему фоновым полям, о которых говорилось выше. Отметим, что из-за наличия производной в формулах (5.12.6) и (5.12.8) при переходе от изотропного значения поля к самому полю одна степень дифференцируемости может быть утрачена. Но если Ф и относятся к классу то к тому же классу будет относиться и полученное поле (во внутренней области). Даже в случае, когда или недостаточно гладкие, чтобы давать гладкое поле, уравнения (5.12.3) или (5.12.4) все-таки, будут выполняться для надлежащим образом определенных обобщенных функций [73].

Приведенное доказательство было в какой-то мере излишне подробным, поскольку точный вид выражения (5.12.48) не нужен для демонстрации требуемой симметрии выражения (5.12.50). Однако формула (5.12.50) представляет интерес сама по себе, так как дает прямое интегральное выражение для производной от безмассовога свободного поля. Действительно, поле

само образует точную систему, удовлетворяющую полевым уравнениям

[ср. с формулой (5.10.10)], и можно рассматривать выражение (5.12.50) как аналог формулы (5.12.6) для поля Однако заметим, что теперь изотропное значение поля будет таким:

тогда как в выражении (5.12.50) величина Ф фигурирует и без оператора производной. Таким образом, чтобы получить полностью исходя из соответствующего изотропного значения, необходимо вначале проинтегрировать 0 вдоль образующих прежде чем мы сможем воспользоваться формулой (5.12.50). Фактически это означает, что для поля не выполняется принцип Гюйгенса, по крайней мере в той строгой форме, в которой он справедлив для Принцип Гюйгенса, выражаемый формулой (5.12.6), состоит в том, что поле полностью определяется своим изотропным значением (и его

производной) в точках, лежащих на световом конусе с вершиной в точке наблюдения; что же касается поля оно в какой-то мере зависит и от соответствующих изотропных значений внутри конуса.

Для полноты приведем также обобщение формулы (5.12.50) для производной от выражения (5.12.6) в М: