Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Поля, соответствующие произвольным изотропным данным

Чтобы оправдать термин «фоновое поле», мы покажем, что поле, построенное согласно формуле (5.12.6) с произвольным изотропным значением на изотропной начальной гиперповерхности действительно удовлетворяет соответствующим полевым уравнениям (5.12.3) или (5.12.4) при варьировании точки Р. Это будет означать, что опережающее и запаздывающее фоновые поля (так, как они были определены) оба автоматически являются свободными безмассовыми полями.

Наше исследование справедливости формулы (5.12.6) даже было бы не совсем полным без такого доказательства. Мы установили лишь условие согласованности, которое должно выполняться для любого безмассового свободного поля. Но мы еще не доказали, что при произвольном изотропном значении формула (5.12.6) всегда дает такое поле. Это приводит к трудностям, если мы требуем, чтобы построенное поле было гладким на самой начальной изотропной гиперповерхности Дело в том, что обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара вырождается в тех точках, где 2-поверхность стягивается в отрезок образующей поверхности начинающийся в точке Р и кончающийся в сингулярной точке (рис. 5.8). Если не позаботиться об условиях согласованности, которые должны выполняться в определенных сингулярных точках такого типа на (а при нам в сингулярных «точках пересечения» вообще говоря, будут необходимы даже дополнительные компоненты то мы можем получить поле которое не будет гладким на Напомним, что из сказанного в конце § 11 следует, что если — световой конус, то изотропное значение должно иметь определенное поведение в вершине, чтобы поле было аналитично., Еслй же начальное значение не обладает этим общим типом поведения, то вычисленное по формуле (5.12.6) поле будет иметь сингулярности на хотя и не будет иметь их внутри

Вопрос о регулярности поля на выходит за рамки нашей книгн. Здесь мы только покажем, что достаточно далеко от (т. е. «внутри» ) поле действительно удовлетворяет

Рис. 5.8. Когда точка Р приближается к , 2-поверхность вырождается в отрезок образующей светового конуса

Рис. 5.9. К соотношению (5.12.41).

уравнениям (5.12.3) или (5.12.4). В явной форме вычисления будут проведены для пространства М. Результат для конформно-плоского пространства-времени можно получить путем конформного изменения масштаба. Пусть О — произвольно фиксированное начало координат в пространстве М, а вектор положения точки Р относительно начала О. Для удобства выберем спинор постоянным вдоль любой образующей гиперповерхности и свяжем с ним аффинный (т. е. линейный) параметр (рис. 5.9). Тогда, если Н — точка на образующей в которой типичная точка на с параметром то мы имеем

Обозначив вектор, характеризующий положение точки Н, через напишем (см. рис. 5.9)

(где спинор можно рассматривать как величину, постоянную вдоль При фиксированном положении образующей и меняющемся положении точки Р величины будут функциями переменной постоянно). Поэтому дифференцирование выражения (5.12.41) по дает

Свертывая обе части этого равенства с гл, получаем

а свертка с дает

поскольку из равенства следует, что

Далее, если свернуть выражение (5.12.42) с и воспользоваться равенством (5.12.45), получим

Из соотношения (5.12.43) следует, что любая величина заданная на удовлетворяет уравнению

[формулы (5.12.9), (5.12.10); здесь так как спинор постоянен вдоль Следовательно, на основании (4.11.12а) получаем

Кроме того, имеем (проще всего это получить, исходя из интерпретации параметра как «конвергенции», гл. 7 § 1)

Таким образом, применяя оператор к выражению (5.12.6) (и учитывая, что в случае величины, заданной в точке Р, этот оператор сводится к получим, используя соотношения (5.12.44) и

(в пространстве Минковского М). Данное выражение очевидным образом симметрично по индексам , что указывает на выполнение уравнения (5.12.3) при . В случае

нужно еще раз продифференцировать выражение (5.12.50), чтобы убедиться в выполнении уравнения (5.12.4).

Этим завершается доказательство того, что формула (5.12.6) всегда дает безмассовое свободное поле в пространстве М при произвольном выборе изотропных данных на если точка Р лежит в области, для которой Ф поперечно пересекается с по гладкой замкнутой поверхности (в действительности, с необходимостью имеющей топологию сферы ). В частности, этот вывод относится и к запаздывающему и опережающему фоновым полям, о которых говорилось выше. Отметим, что из-за наличия производной в формулах (5.12.6) и (5.12.8) при переходе от изотропного значения поля к самому полю одна степень дифференцируемости может быть утрачена. Но если Ф и относятся к классу то к тому же классу будет относиться и полученное поле (во внутренней области). Даже в случае, когда или недостаточно гладкие, чтобы давать гладкое поле, уравнения (5.12.3) или (5.12.4) все-таки, будут выполняться для надлежащим образом определенных обобщенных функций [73].

Приведенное доказательство было в какой-то мере излишне подробным, поскольку точный вид выражения (5.12.48) не нужен для демонстрации требуемой симметрии выражения (5.12.50). Однако формула (5.12.50) представляет интерес сама по себе, так как дает прямое интегральное выражение для производной от безмассовога свободного поля. Действительно, поле

само образует точную систему, удовлетворяющую полевым уравнениям

[ср. с формулой (5.10.10)], и можно рассматривать выражение (5.12.50) как аналог формулы (5.12.6) для поля Однако заметим, что теперь изотропное значение поля будет таким:

тогда как в выражении (5.12.50) величина Ф фигурирует и без оператора производной. Таким образом, чтобы получить полностью исходя из соответствующего изотропного значения, необходимо вначале проинтегрировать 0 вдоль образующих прежде чем мы сможем воспользоваться формулой (5.12.50). Фактически это означает, что для поля не выполняется принцип Гюйгенса, по крайней мере в той строгой форме, в которой он справедлив для Принцип Гюйгенса, выражаемый формулой (5.12.6), состоит в том, что поле полностью определяется своим изотропным значением (и его

производной) в точках, лежащих на световом конусе с вершиной в точке наблюдения; что же касается поля оно в какой-то мере зависит и от соответствующих изотропных значений внутри конуса.

Для полноты приведем также обобщение формулы (5.12.50) для производной от выражения (5.12.6) в М:

1
Оглавление
email@scask.ru