Связь со спиновыми коэффициентами

Рассмотрим теперь связь исчисления Картана с методом спиновых коэффициентов. Тензорный базис теперь следует рассматривать как возникающий из диады , которую мы будем для простоты считать нормированной Таким образом, начиная с (4.13.19) и далее, мы можем заменить каждый тетрадный индекс и т. д. соответствующей парой диадных индексов и т. д. Для базисных -форм мы имеем

Введем обозначения

(для согласования со стандартными обозначениями для изотропной тетрады). Систематическое использование диадных индексов освобождает символы которые можно использовать, например, в качестве координатных индексов. Тогда равенство (4.13.31) можно переписать в виде (в координатном тензорном базисе)

откуда следует, что компоненты -форм есть просто символы Инфельда - ван дер Вердена [формула (3.1.37)].

Теперь метрика со «старыми» дифференциалами координат может быть переписана на основе формулы (3.1.45) с использованием символов Инфельда — ван дер Вердена:

что с учетом равенств (4.13.32) можно переписать в виде

где означает и т. д., a означает

Для вычисления спиновых коэффициентов можно использовать (обязательно единственное) решение уравнения (4.13.20) в записи с диадными индексами

Если тензорный базис получается из базиса диад и, следовательно, то из (4.5.37) мы имеем

а из (4.5.5) следует, что

Таким образом, величины обладают требуемой антисимметрией (4.13.26). Можно переписать (4.13.36) и (4.13.37) в виде

Совместно с (4.13.38) это дает систему уравнений для коэффициентов у, решение которой следует угадать или последовательно вычислить с использованием (4.13.27) или (4.5.43).

Если же мы напишем

так что

и

то (4.13.36) можно переписать в виде

Взяв компоненты этого уравнения, мы получим систему

которая позволяет найти (единственное) решение для спиновых коэффициентов. Отметим, что ввиду нормировки спиновые коэффициенты удовлетворяют дополнительным условиям формулы (4.5.29)]. Отметим также, что первое и последнее уравнения преобразуются друг в друга при помощи операции «штрих», а среднее уравнение переходит в себя при совместном действии этой операции и комплексного сопряжения.

Итак, если задана метрика то ее всегда можно представить в виде (4.13.35), разумеется, разными путями, из которых одни более, а другие менее удобны; затем мы представляем в виде линейных комбинаций , сравнивая полученные выражения с (4.13.44), находим спиновые коэффициенты. Если спиновые коэффициенты известны, то спиноры кривизны можно вычислить по формулам (4.13.30), (4.13.17) и (4.13.18), хотя на этой стадии может оказаться более экономным использование формул (4.11.12) или (4.12.32).