§ 6. Конформные изменения масштаба

В данном в гл. 1 геометрическом описании спин-векторов существенно использовалась структура световых конусов пространственно-временного многообразия Роль самой метрики (которая приводила к такой структуре) была не столь фундаментальной. В действительности можно ввести спиноры, задавая лишь конформную структуру в многообразии т. е. приписывая смысл лишь классам эквивалентности метрик, которые могут быть получены из некоторой заданной метрики путем конформного изменения масштаба

где — произвольное скалярное поле всюду положительное Заметим, что это преобразование не

осуществляет преобразования точек. Информация, заключающаяся в конформной структуре, и есть в точности структура световых конусов. (Очевидно, что две конформно-эквивалентные метрики имеют одинаковые изотропные направления; обратно, две метрики с сигнатурой Минковского, имеющие одинаковые действительные изотропные направления, должны быть связаны конформным преобразованием; см., например, [158], формулы (6.4) - (6.8).) С физической точки зрения структура световых конусов — более первичная структура, чем сама метрика. Ее например, вполне достаточно для исследования вопроса о причинной связи между событиями. В данном параграфе мы изучим конформную структуру более детально.

Б гл. 1 была дана геометрическая интерпретация спин-вектора в точке (с точностью до знака) как изотропного флага. Такое построение опирается на геометрию светового конуса (в касательном пространстве к ) в точке Р. Конформная метрика действительно нужна, чтобы можно было дать определение спиноров. Однако все построение не зависит от выбора масштабной функции, ассоциируемого с некоторой заданной метрикой Масштаб проявляется в каноническом соотношении между модулем 0 и дуальным ему модулем т. е. в (кососимметричной) структуре внутреннего произведения на задаваемой величиной Напомним, что в гл. 1, § 6 [формула (1.6.25) и далее] внутреннее произведение двух спин-векторов было определено чисто геометрически, на основе геометрии светового конуса. Аргумент внутреннего произведения был определен исключительно с использованием величин конформной геометрии (углов, стереографических проекций и т. п.), а модуль внутреннего произведения вводился с помощью понятия длины. Таким образом, внутреннее произведение должно быть инвариантным относительно конформного изменения масштаба (5.6.1), тогда как модуль может изменяться. Следовательно, если мы хотим сохранить нашу геометрическую интерпретацию, мы можем допустить изменение величины при конформном изменении масштаба, но не более, нежели умножение на некоторое действительное число. Поэтому, чтобы сохранить соотношение мы должны потребовать, чтобы преобразование (5.6.1) сопровождалось заменой

Единственная альтернатива этому выбору, а именно, не годится, так как она нарушает непрерывность при единичном преобразовании.

В обычном компонентном описании (в заданной спиновой системе отсчета) имеем , и эти величины не должны подвергаться преобразованию типа (5.6.2), которое относится к величинам с абстрактными индексами. Такое соглашение позволяет существенно упростить формулы преобразования при конформном изменении масштаба. Тем самым использование метода абстрактных индексов приводит к естественному развитию теории в направлении, которое нельзя было бы предвидеть, опираясь на компонентный подход, что в результате дает определенные преимущества. Задание преобразования (5.6.2) еще оставляет некоторую свободу при введении спинорных компонент. Рассмотрим три возможности. Пусть задана диада , нормированная по отношению к величине [формула (2.5.39)], иначе говоря выбрана некоторая спиновая система отсчета. Тогда компоненты величины в этом базисе имеют стандартный вид . Если при конформном преобразовании масштаба положить то эти величины перестанут быть нормированными по отношению к новому спинору Действительно, мы будем иметь так что (Всюду подразумевается, что компоненты величин со шляпками берутся по отношению к базису со шляпками.) В таком случае диада более не образует спиновой системы отсчета. Мы имеем и аналогично а потому в данном базисе Вторая возможность заключается во введении новой диады согласно соотношениям Эта диада остается нормированной и мы имеем для нее также имеем следовательно, Однако часто бывает удобнее сделать третий, асимметричный выбор: . В этом случае Новая диада тоже остается нормированной, так что Такой выбор часто оказывается полезным, если одному из полей (или ) необходимо отдать предпочтение, как, например, при обсуждении понятия конформной бесконечности в т. 2, в особенности в гл. 9, § 7 (см. также [140]).

Величины типа дельта-символа Кронекера должны оставаться неизменными:

поскольку они осуществляют перестановки индексов между различными множествами или, иначе, поскольку они удовлетворяют соотношениям вида [формулы (3.1.11) и (2.5.13)]. Мы должны также иметь

в силу соотношений комплексного сопряжения и операций обращения, которыми эти величины связаны с По аналогичным причинам

Одним из следствий вышеприведенных соотношений является то, что важная операция поднятия и опускания индексов тензора или спинора не коммутирует с конформным изменением масштаба. Поэтому необходимо пояснять, с помощью каких из величин и данный индекс поднимается или опускается. Мы будем придерживаться соглашения, что индексы любого объекта со шляпкой поднимаются и опускаются операторами или для объектов без шляпки соответствующие операции производятся умножением на или е.