e-спиноры

Свойства (1.6.16) — (1.6.18) задают внутреннее произведение как (антисимметричное) -билинейное отображение из так что должен существовать единственный элемент такой, что

для всех причем — антисимметричный спинор;

Величина является важным объектом спинорной алгебры. Она играет роль, в чем-то аналогичную роли метрического тензора в декартовой (или римановой) теории тензоров, дднако имеются и важные отличия, связанные с антисимметрией

Для начала отметим, что еле устанавливает каноническое отображение (фактически изоморфизм) между модулями и дуальными модулями

(Иными словами, элемент модуля, дуального модулю отвечающий спин-вектору есть Для элемента модуля и соответствующего ему элемента модуля будет использоваться один и тот же опорный символ. Таким образом (по аналогии с классическим римановым. тензорным анализом), мы можем рассматривать как оператор, «опускающий индекс» спин-вектора в формуле (2.5.4). Утверждение, что отображение (2.5.4) является изоморфизмом, а не просто некоторым гомоморфизмом модулей (не одно-однозначным), следует из компонентной формы (1.6.6) внутреннего произведения:

(здесь, как и в гл. 1, используется координатная система для спин-векторов в каждой точке); в силу формул (2.5.2) и (2.5.4) имеем

где — компоненты спинора связанные с компонентами спинора соотношениями

одно-однозначная природа которых очевидна. Таким образом, должно существовать (и быть -линейным) обратное отображение из и должен быть элемент [формула (2.2.37)], который реализует это обратное отображение:

Тот факт, что отображения (2.5.4) и (2.5.8) являются обратными друг другу, может быть выражен равенствами

(где рассматриваются отображения соответственно), причем символами с обозначен канонический изоморфизм между и и между соответственно [формулы (2.2.43) и (2.2.44)]. Но далее мы не будем применять символа предпочитая ему (или ):

Фактически мы рассматриваем левую часть первого равенства в формуле (2.5.9) как действие на спинора «поднимающего» его второй индекс, и аналогично рассматриваем левую часть второго равенства, в соответствии с правилами поднятия и опускания индексов (2.5.4) и (2.5.8). Мы можем понимать либо как с поднятым вторым индексом [первое равенство (2.5.9)], либо как с опущенным первым индексом [второе равенство (2.5.9)]. Комбинируя указанные две интерпретации спинора ел мы видим, что есть спинор еле, у которого оба индекса подняты, как это и явствует из обозначений. Одним из следствий этого является антисимметрия

Соотношение также выражает антисимметрию Оно подчеркивает к тому же необходимость оставлять

пробелы в рядах спинорных индексов. Для каждого нижнего индекса должно быть свободное место вверху, чтобы его можно было однозначно поднять, а для каждого верхнего индекса должно быть место внизу, на которое его можно было бы однозначно опустить.

Объединяя различные наши соотношения, получаем

Ввиду антисимметрии величин мы должны быть внимательными при поднимании и опускании индексов, чтобы правильный индекс у символа понимать как полученный в результате свертки. Таким образом,

Мы можем связать соотношения (2.5.14) и (2.5.15) с (2.5.13) спинорной «пилой»:

Знак минус и здесь появляется как следствие антисимметрии спинора е. Один из способов запомнить расстановку знаков в равенствах (2.5.14) и (2.5.15) — просто запомнить знаки в равенстве (2.5.10) и воспользоваться упомянутой «пилой».

Как и в формуле (2.5.6), можно записать внутреннее произведение:

Окончательное соотношение (1.6.19) имеет теперь вид

Другим способом это может быть выражено как

для всех следовательно [формула (2.2.40)],

Опуская индекс получаем важное эквивалентное тождество

Подняв же индекс С в формуле (2.5.20), получим

Отсюда

[получается путем свертки обеих частей равенства (2.5.22) с Таким образом, если спинор кососимметричен по индексам , то

[Очевидно, что полученное соотношение применимо и в том случае, когда индексы А, В не являются смежными; к примеру, если спинор кососимметричен по А, В, мы можем ввести спинор и применить к нему формулу(2.5.24). Отметим, что частным случаем равенства (2.5.24) является пропорциональность всех антисимметричных элементов модуля спинору Отметим, что мы можем поднять индексы А, В в формулах (2.5.23) и (2.5.24) и получить указанные результаты в другой форме. Отметим также, что -свертка (2.5.20) дает

[В силу равенства (2.5.10) данным соотношением выражается двумерность спинового пространства.]