Так как соотношение (4.1.35) не зависит от выбора координат, мы имеем
что формально совпадает с законом преобразования классических дифференциалов.
Чтобы оправдать применение термина «градиент» для 
вычислим его компоненты в системе координат 
Поскольку 
есть элемент множества 
эти компоненты можно вычислить, взяв скалярные произведения с элементами базиса 
искомые величины таковы:
где использовано (4.1.32). Таким образом, определение «дифференциала», данное здесь, совпадает с классическим определением «градиента». Через свои компоненты величина 
выражается следующим образом:
что есть просто другое представление формально справедливого классического выражения (4.1.37).
Поскольку мы хотим использовать обозначения, включающие абстрактные индексы, обозначение в виде «дифференциала» для ковариантных векторов оказывается не вполне подходящим. Для обозначения оператора градиента, действующего на скаляры, мы будем использовать символ 
Тогда 
есть канонический образ при отображении 
из 
Поскольку компоненты 
должны быть каноническим образом дифференцирования V в можно переписать (4.1.32) в виде 
Другими словами,
причем оператор действует на скаляры. Обозначение (4.1.40) согласуется с тем, которое обычно используется для производной по направлению.
Мы видели в (4.1.38), что компоненты 
в координатах х равны 
Поэтому последние величины являются компонентами 
вектора 
и мы можем написать
при условии, что операторы действуют на скаляры.
Из (4.1.11) мы окончательно получаем
если
определим его градиент, иногда называемый его дифференциалом, как элемент 
модуля 
дуального модулю 
:
, следует из (4.1.28) и (4.1.29): мы имеем 
и 
.
при замене координат. Выберем локальную координатную систему 
Тогда [формулы (4.1.12) и (4.1.18)] величины
Элементы дуального базиса суть дифференциалы координат 
получаем
