1. Геометрия мировых векторов и спин-векторов

§ 1. Векторное пространство Минковского

В данной главе мы остановимся на геометрии пространства мировых векторов. Такое пространство называется векторным пространством Минковского. Оно представляет собой множество «векторов положения» в пространстве-времени специальной теории относительности, исходящих из некоторого события, произвольно выбранного в качестве начала отсчета. В искривленном пространстве-времени общей теории относительности векторные пространства Минковского реализуются как касательные пространства в точках (событиях) пространства-времени. Другим примером служат пространства, заметаемые 4-скоростями или 4-моментами.

Векторное пространство Минковского есть четырехмерное векторное пространство V над нолем действительных чисел, причем на V заданы ориентация, (билинейное) скалярное произведение с сигнатурой и временная ориентация.

(Ниже мы кратко остановимся на значении этих терминов.) Таким образом, как и в случае всякого векторного пространства, мы располагаем операциями сложения и умножения на скаляры, удовлетворяющими соотношениям

при всех Здесь есть нейтральный элемент относительно сложения. Как обычно, мы понимаем под величину и принимаем обычные соглашения о скобках и знаках минус, например

Четырехмерность пространства V эквивалентна существованию базиса, состоящего из четырех линейно независимых векторов . Иными словами, всякий вектор

можно единственным образом представить в виде

где — так называемые координаты. Из всех элементов векторного пространства Минковского только элемент 0 имеет все координаты, равные нулю. Всякий другой базис в пространстве V также должен содержать четыре элемента, и любая совокупность четырех линейно независимых элементов, принадлежащих V, составляет базис. Мы будем часто называть базис в пространстве V тетрадой и обозначать тетраду через имея в виду, что

В таких обозначениях выражение (1.1.2) приобретает вид

Здесь и далее мы пользуемся правилом суммирования Эйнштейна: подразумевается суммирование по всякому численному индексу, который встречается в одном члене дважды: один раз вверху, а другой внизу. Индексы в виде жирных прямых строчных букв латинского алфавита будут всегда пробегать четыре значения 0, 1, 2, 3. Впоследствии мы будем также пользоваться численными индексами в виде жирных прямых заглавных букв латинского алфавита такие индексы будут принимать только два значения 0 и 1. К ним будет также применяться правило суммирования Эйнштейна.

Рассмотрим два базиса в пространстве V, скажем Заметим, что мы употребляем систему меченых индексов, при которой сами индексы, а не буквы, к которым они относятся (различные буквы могут отвечать различным базисам и т. д.), получают определенные отличительные метки («шляпки» и пр.). Таким образом, индексы типа в той же мере не связаны между собой численно, как и а, b, с. Подобная система обозначений поначалу может показаться читателю неизящной, но ее преимущества станут видны позже. Итак, всякий вектор первого базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов второго базиса:

Шестнадцать чисел g образуют действительную невырожденную матрицу размерности . Таким образом, величина

отлична от нуля; если она положительна, то мы говорим, что тетрады и имеют одинаковую ориентацию, а если отрицательна — противоположную. Отметим, что отношение между тетрадами, характеризуемое словами «одинаковая ориентация», есть отношение эквивалентности. Действительно, если то представляют собой обратные матрицы, и поэтому их определители имеют одинаковый знак; если матрица равна произведению на , следовательно, имеет положительный определитель при условии, что определители обеих матриц и положительны. Итак, тетрады распадаются на два не связанных друг с другом класса эквивалентности. Мы будем называть тетрады одного класса собственными, а другого — несобственными. Именно это разделение и придает пространству

V его ориентацию.

Операция скалярного произведения на V ставит в соответствие каждой паре векторов из V некоторое действительное число, обозначаемое через При этом выполняются соотношения

выражающие симметрию и билинейность операции скалярного произведения. Мы также потребуем, чтобы скалярное произведение имело сигнатуру Это означает, что существует такая тетрада , для которой

Если в соответствии со схемой (1.1.3) обозначить эту тетраду через то мы сможем переписать (1.1.7) и (1.1.8) в следующей краткой форме:

где — матрица, которая имеет вид

Вариант записи с поднятыми индексами потребуется впоследствии для единства обозначений.) Тетраду, удовлетворяющую условию (1.1.9), мы будем называть тетрадой Минковского. Хорошо известно (теорема Сильвестра об «инерции сигнатуры»), что в произвольном заданном векторном пространстве над полем действительных чисел число положительных произведений векторов самих на себя (1.1.7) не зависит от выбора ортогональной тетрады (или в -мерном случае), т. е. тетрады, удовлетворяющей соотношениям (1.1.8).

Задавшись произвольной тетрадой Минковского мы можем в соответствии с (1.1.4) представить любой вектор в виде соответствующего ему набора координат Минковского этом случае скалярное произведение может быть записано следующим образом:

Заметим, что Таким образом,

Частным случаем скалярного произведения является лоренцева норма

Полезно отметить, что скалярное произведение может быть выражено через лоренцеву норму:

Вектор называется:

Вектор является причинным (т. е. времениподобным или изотропным), если его координаты Минковского удовлетворяют условию

в котором равенство относится к случаю изотропного V. Если оба вектора V и V причинны, то, применяя последовательно (1.1.16) и неравенство Шварца, получаем

Следовательно, если исключить случаи, когда оба вектора изотропны и пропорциональны один другому или один из них нулевой (единственные случаи, когда оба неравенства сводятся к равенствам), то знак произведения в силу (1.1.11) будет тот же самый, что и произведения Отсюда, в частности, вытекает, что никакие два причинных вектора не могут быть взаимно ортогональными, если только они не изотропны и не пропорциональны один другому.

Как следствие мы получаем, что причинные векторы распадаются на два несвязанных класса, обладающих следующим свойством: скалярное произведение любых двух непропорциональных один другому векторов одного и того же класса положительно, а скалярное произведение непропорциональных векторов из разных классов отрицательно. Эти два класса различаются знаком величины причем класс с положительной величиной содержит времениподобный тетрадный вектор Задать временную ориентацию пространства V — значит назвать элементы одного из этих классов направленными в будущее, а элементы другого — направленными в прошлое. Мы будем часто называть направленный в будущее времениподобный (изотропный, причинный) вектор просто времениподобным (изотропным, причинным) вектором будущего. Если — времениподобный вектор будущего, то тетрада Минковского называется ортохронной. Будучи отнесенными к ортохронной тетраде Минковского, причинные векторы будущего суть такие векторы, для которых просто Несмотря на то что нулевой вектор изотропен, он не является ни изотропным вектором будущего, ни изотропным вектором прошлого. Вектор, противоположный любому причинному вектору будущего, есть причинный вектор прошлого.

Задание пространственной ориентации пространства V состоит в приписании трем пространственноподобным векторам каждой тетрады Минковского «правого» или «левого» характера. Это задание может быть осуществлено на основе ориентации и временной ориентации пространства V. А именно, триада называется правой, если тетрада Минковского является либо одновременно собственной и ортохронной, либо не обладает ни тем, ни другим свойством. В противном случае триада является левой. Тетрада Минковского, являющаяся одновременно собственной и ортохронной, называется ограниченной. Любыми двумя из свойств — ориентации, временной ориентации и пространственной ориентации пространства

V — определяется третье, причем, если какие-либо два свойства меняются на противоположные, третье должно оставаться неизменным. Производя указанный выбор двух свойств для пространства-времени, в котором мы живем, более предпочтительно,

по-видимому, начать с выбора триады и назвать ее правой или левой в соответствии с хорошо известным критерием, используемым физиками и основанным на форме кисти руки, которой пишет большинство людей. Подобным же образом в статистической физике однозначно определяется будущее состояние системы.

Пространство-время Минковского

Мы уже отмечали, что векторное пространство Минковского

V можно рассматривать как пространство векторов положений точек (событий) относительно некоторого произвольно выбранного начала отсчета. Такие точки образуют пространство-время Минковского Это пространство-время является ареной действия специальной теории относительности. Все его точки равноправны, и, в частности, оно не имеет выделенного начала: пространство М инвариантно относительно трансляций, т. е. представляет собой аффинное пространство. Взаимосвязь между Мн V может быть охарактеризована отображением

при котором

откуда . Мы можем рассматривать как вектор положения точки относительно где . Очевидно, что V посредством отображения (1.1.18) индуцирует норму в , называемую здесь квадратом интервала Ф и определенную для каждой пары точек :

Стандартное введение координат на (где есть пространство четверок действительных чисел) состоит из выбора начала отсчета и выбора тетрады Минковского при После этого координатами произвольной точки будут координаты вектора относительно Из (1.1.19) посредством

замены Q на О мы получаем следующее выражение для координат вектора относительно

откуда ясно видна независимость координат от выбора начала отсчета. Подстановка выражений (1.1.21) и (1.1.20) в (1.1.13) дает

Линейное преобразование V в себя, сохраняющее лоренцеву норму и, следовательно, в силу (1.1.14), также скалярное произведение, называется (активным) преобразованием Лоренца. Если такое преобразование сохраняет и ориентацию, и временную ориентацию пространства V, то оно называется ограниченным преобразованием Лоренца. Очевидно, что (ограниченные) преобразования Лоренца образуют группу; она называется (ограниченной) группой Лоренца. Аналогично преобразование в себя, сохраняющее квадрат интервала (здесь не требуется никакого предположения о линейности), называется (активным) преобразованием Пуанкаре. Любое такое преобразование индуцирует лоренцево преобразование на V и также может быть соответствующим образом классифицировано как ограниченное или неограниченное. Опять же очевидно, что ограниченные преобразования Пуанкаре образуют группу.

Любой физический эксперимент в пространстве-времени Минковского (где протекает наша практическая деятельность) может быть подвергнут преобразованию Пуанкаре — т. е. повороту в пространстве, смещению в пространстве и времени и прямолинейному равномерному движению — без изменения его существенных результатов. На этом положении, которое может быть установлено независимо от координат или других правил физики, основана специальная теория относительности.

Замена координат

В данной книге преобразования Лоренца и Пуанкаре, если не сделано оговорок, будут пониматься как активные преобразования. Но иногда бывает полезно рассмотреть «пассивные» преобразования Лоренца (и Пуанкаре). Они представляют собой преобразования координатного пространства т. е.

переопределение координат V (или М). Любая тетрада Минковского в пространстве V (или тетрада и начало отсчета О в пространстве для всякого вектора определяет четверку координат по правилу Замена этой опорной тетрады в V (или тетрады и начала отсчета в М) индуцирует замену координат Получающееся при этом соответствие

называется пассивным преобразованием Лоренца (Пункаре). Оно называемся ограниченным, если может порождаться двумя ограниченными тетрадами Минковского Ради краткости сосредоточим сейчас внимание на преобразованиях Лоренца; очевидные обобщения легко распространяются на преобразования Пуанкаре.

Если упомянутые две опорные тетрады связаны между собой соотношением

то

и, следовательно, пассивное преобразование (1 1.23) в явном виде записывается следующим образом:

откуда ясно видна его линейность. Это преобразование полностью определяется матрицей

Даже активное преобразование Лоренца часто бывает удобно описывать посредством координат (Это несколько дезориентирует, поскольку активное преобразование Лоренца существует независимо от всех координат, тогда как пассивное преобразование Лоренца независимо от координат не существует.) Итак, при заданном активном преобразовании Лоренца мы можем как вектор так и его отображение V отнести к одной {произвольной) тетраде Минковского которая, в свою очередь, может быть получена как результат действия преобразования на тетраду в соответствии с (1.1.24). Поскольку в силу предполагаемой линейности преобразования выражение вектора V через должно быть идентично выражению вектора через мы имеем из (1.1 25) (см. также рис. 1.1)

Рис. 1.1. Активное преобразование Пуанкаре переводит мировой вектор V в точке О в мировой вектор V в точке . Если оно также переводит тетраду в точке О в тетраду в точке то координаты вектора относительно будут такими же, как и координаты V вектора V относительно Следовательно, (обратное) пассивное преобразование, порождаемое соответствием в переводит исходные координаты вектора V в исходные координаты вектора V.

где в виде исключения из общего правила мы предполагаем суммирование по паре различных индексов и Отсюда вытекает следующая явная форма преобразования:

где

Таким образом, активное преобразование Лоренца переводящее по своему действию на координаты вектора формально эквивалентно пассивному преобразованию Лоренца порождаемому переходом от опорной тетрады

Если — ограниченное преобразование Лоренца, то оног очевидно, переводит ограниченную тетраду Минковского в ограниченную тетраду Минковского и, следовательно, соответствующее пассивное преобразование также ограниченно. Пусть, наоборот, — ограниченное преобразование; предположим, оно порождается ограниченными тетрадами Тогда соответствующее преобразование сохраняет нормы, произведения и ориентацию, поскольку фактически оно сохраняет координаты; таким образом, — ограниченное преобразование. Для того чтобы сохраняло скалярные произведения, необходимо потребовать теперь [с учетом формул (1.1.11) и (1.1.27), где опущены шляпки] выполнение соотношения

Рассматривая (1.1.29) как матричное уравнение, мы заключаем, что Условие ограниченности преобразования оказывается следующим:

В силу формулы (1.1.28) те же самые условия применимы к матрице пассивного ограниченного преобразования Лоренца. Ясно, что эти условия могут быть также выведены непосредственно из определений