§ 2. Ковариантная производная

Мы видели в (4.1.32), что можно дать определение градиента скаляра, имеющее инвариантный смысл и зависящее лишь от дифференциальной структуры многообразия (и даже только от алгебраической структуры множества ). В то же время не существует такого же однозначного инвариантного определения понятия градиента вектора а также тензора любой валентности, кроме Однако на можно ввести дополнительную структуру, которая является операцией градиента на векторах и может быть однозначно продолжена на все тензорные поля на Эта структура называется связностью, а операция, которая ее определяет, — ковариантным дифференцированием. Как упоминалось в § 1, существуют определенные операторы, включающие дифференцирование (производная Ли, внешняя производная и др.), которые не требуют наличия связности на Тем не менее будет полезно обсудить и эти операции в связи с ковариантными производными, вместо того чтобы рассматривать их независимо.

Оператор ковариантной производной может быть определен как отображение

удовлетворяющее двум требованиям:

для всех где есть обычный градиент определенный в § 1 [формулы (4.1.32), (4.1.40)]. Элементы и т. д. определяются на подстановкой

индексов. В нашем формализме такая подстановка возможна в любой формуле.

Определение оператора таково, что он однозначно продолжается на ковариантные векторы как отображение

где есть -линейное отображение из в [формула (2.2.37)], определенное следующим образом:

Доказательство его -линейности следует из (4.1.43) и (4.2.2), а также из (4.1.44) и (4.2.3). Отметим, что такое определение отображения прямо следует из требования, чтобы производная от удовлетворяла правилу Лейбница.

Мы имеем

в силу формул (4.2.5), (4.1.43), (4.1.44).

Далее, рассмотрим общий тензор Если потребовать, чтобы правило Лейбница удовлетворялось для производной от то мы приходим к следующему соотношению:

Им определяется как отображение (нетрудно убедиться, что оно будет линейным) из [формула (2.2.38)]. Таким образом, любой оператор удовлетворяющий условиям (4.2.1) — (4.2.3), однозначно продолжается до

наложением единственного требования, чтобы его действие на свертки типа удовлетворяло правилу Лейбница. (Легко также установить, что в случае мы возвращаемся к первоначальному определению.)

Преобразуя обе части каждого из двух следующих равенств по правилу (4.2.8), непосредственно убеждаемся в том, что

Ясно также, что

Операция коммутирует с подстановкой любого индекса, кроме

Чтобы доказать коммутативность операции с операцией свертки (исключая свертку по мы можем, во-первых, представить как сумму прямых произведений векторов [формула (2.2.14)], а затем, используя линейность соотношения (4.2.10), применить правило Лейбница (4.2.11) к каждому из выражений используя формулы (4.2.11) и (4.2.5), получаем разложение Лейбница для и для

Непосредственно проверяется, что -свертка первого выражения равна второму. Таким образом, -свертка выражения равна что и требовалось доказать:

Свойства (4.1.10), (4.2.1), (4.2.11) и (4.2.13) часто используются для аксиоматического введения ковариантной производной.