Доказательство основной формулы

После этих предварительных замечаний мы готовы приступить к доказательству формулы (5.12.6). Проведем его в два этапа. Сначала покажем, что для любых двух гладких сечений гиперповерхности (рис. 5.5), для которых выполняются соотношения (5.12.3) и (5.12.4) в некоторой окрестности части гиперповерхности между лежащей в М, интеграл (5.12.6) по равен аналогичному интегралу по . [Заметим, что любое гладкое поперечное сечение гиперповерхности возникает как пересечение изотропной гиперповерхностью Действительно, есть просто поверхность, заметаемая изотропными геодезическими («лучами»), отличными от

Рис. 5.5. К доказательству равенства интегралов по У и с привлечением основной теоремы внешнего исчисления.

образующих гиперповерхности 47, входящими в ортогонально (гл. 4, § 14; гл. 7, § 1). Второй этап состоит в доказательстве того, что выражение (5.12.6) справедливо в предельном случае, когда стягивается в бесконечно малую сферу около точки Р. Тем самым формула (5.12.6) будет доказана в общем виде [125].

Для доказательства первого утверждения воспользуемся вариантом (4.14.92)-(4.14.94) основной теоремы внешнего исчисления, приведенной в гл. 4, конец § 14, в которой используются спин- (и буст-) взвешенные скаляры. Сначала перепишем формулу (5.12.6) с использованием взвешенных скаляров, для чего выберем произвольно спинор [формула (4.15.42)] и введем -скаляр

Тогда формулу (5.12.6) можно переписать так:

Чтобы применить соотношения (4.14.93) и (4.14.94), которые нам нужны в комплексно-сопряженной форме, необходимо также ввести -скаляр который совместно с -скаляром

удовлетворяет соотношению (4.14.93) в сопряженной форме:

Здесь величины являются компонентами спинора типа

Оказывается, что соотношение (5.12.17) будет выполняться, если положить

где в соответствии со стандартными обозначениями формулы (которые позволяют также написать Чтобы в этом убедиться, представим уравнение (5.12.3) в виде семейства уравнений и соответствующего штрихованного семейства (4.12.44). Здесь (при нам нужны лишь первые два из уравнений (4.12.44) и лишь последнее из уравнений (4.12.44), которые имеют следующий вид, соответственно:

где учтено, что [формула (5.12.11)], а также равенства

справедливое, поскольку Ф — световой конус в М [формулы (4.14.76) и (4.15.12)]. Аналогично формуле (5.12.13) имеем

а из формулы (4.15.12) получаем

[Сопоставление равенств (4.15.2) и (5.12.2) показывает, что . Из формул (5.12.22), (4.12.32а) и (4.12.32г) (при сразу следует, что

где — скаляр типа Кроме того, соотношение (4.11.28) дает откуда в силу определения (5.12.14) следует равенство

Теперь мы можем проверить выполнение равенства (5.12.17), рассматривая комбинацию

можно показать, что в данной ситуации она тождественно равна нулю. Это устанавливается прямым, хотя и несколько громоздким вычислением с использованием уравнений (4.12.32 а, б, в, г, е) модифицированного формализма спиновых коэффициентов совместно с перестановочными соотношениями (4.12.35) и (4.12.33) применительно к и (4.12.34) применительно к с учетом соотношений (5.12.20) — (5.12.25) и равенств

Из равенства нулю комбинации (5.12.26) и равенств находим что и требовалось доказать. (Случаи аналогичны и даже проще.) Таким образом, интеграл в формуле (5.12.15) не зависит от специального выбора поперечного сечения гиперповерхности т. е. первое утверждение доказано.

Рассмотрим теперь поперечное сечение которое получается как пересечение гиперповерхности с пространственноподобной гиперплоскостью, проходящей вблизи точки Р (в прошлом или в будущем). Пусть имеет радиус (и выберем или в зависимости от того, лежит ли в прошлом или в будущем по отношению к событию Р). Тогда [гл. 4, § 15, в частности формулы (4.15.3), (4.15.9) и (4.15.12)] находим

и, следовательно, каждая из величин расходится как при Поскольку поле является гладким в точке Р и площадь поверхности 96 имеет порядок вклады членов [формула (5.12.8)] обращаются в нуль в этом пределе и остается единственный член — Поэтому интеграл (5.12.6) принимает вид

В рассматриваемом пределе можно вынести за знак интеграла, взяв значение поля в точке Р. Далее используем лемму (4.15.86) при с учетом определения (5.12.7), что позволяет установить требуемое согласие с формулой (5.12.15). Множители можно сократить в обеих частях равенства, поскольку величина «И произвольна [формула (3.3.23)]. Таким образом, формула (5.12.6) доказана.