Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Доказательство основной формулы

После этих предварительных замечаний мы готовы приступить к доказательству формулы (5.12.6). Проведем его в два этапа. Сначала покажем, что для любых двух гладких сечений гиперповерхности (рис. 5.5), для которых выполняются соотношения (5.12.3) и (5.12.4) в некоторой окрестности части гиперповерхности между лежащей в М, интеграл (5.12.6) по равен аналогичному интегралу по . [Заметим, что любое гладкое поперечное сечение гиперповерхности возникает как пересечение изотропной гиперповерхностью Действительно, есть просто поверхность, заметаемая изотропными геодезическими («лучами»), отличными от

Рис. 5.5. К доказательству равенства интегралов по У и с привлечением основной теоремы внешнего исчисления.

образующих гиперповерхности 47, входящими в ортогонально (гл. 4, § 14; гл. 7, § 1). Второй этап состоит в доказательстве того, что выражение (5.12.6) справедливо в предельном случае, когда стягивается в бесконечно малую сферу около точки Р. Тем самым формула (5.12.6) будет доказана в общем виде [125].

Для доказательства первого утверждения воспользуемся вариантом (4.14.92)-(4.14.94) основной теоремы внешнего исчисления, приведенной в гл. 4, конец § 14, в которой используются спин- (и буст-) взвешенные скаляры. Сначала перепишем формулу (5.12.6) с использованием взвешенных скаляров, для чего выберем произвольно спинор [формула (4.15.42)] и введем -скаляр

Тогда формулу (5.12.6) можно переписать так:

Чтобы применить соотношения (4.14.93) и (4.14.94), которые нам нужны в комплексно-сопряженной форме, необходимо также ввести -скаляр который совместно с -скаляром

удовлетворяет соотношению (4.14.93) в сопряженной форме:

Здесь величины являются компонентами спинора типа

Оказывается, что соотношение (5.12.17) будет выполняться, если положить

где в соответствии со стандартными обозначениями формулы (которые позволяют также написать Чтобы в этом убедиться, представим уравнение (5.12.3) в виде семейства уравнений и соответствующего штрихованного семейства (4.12.44). Здесь (при нам нужны лишь первые два из уравнений (4.12.44) и лишь последнее из уравнений (4.12.44), которые имеют следующий вид, соответственно:

где учтено, что [формула (5.12.11)], а также равенства

справедливое, поскольку Ф — световой конус в М [формулы (4.14.76) и (4.15.12)]. Аналогично формуле (5.12.13) имеем

а из формулы (4.15.12) получаем

[Сопоставление равенств (4.15.2) и (5.12.2) показывает, что . Из формул (5.12.22), (4.12.32а) и (4.12.32г) (при сразу следует, что

где — скаляр типа Кроме того, соотношение (4.11.28) дает откуда в силу определения (5.12.14) следует равенство

Теперь мы можем проверить выполнение равенства (5.12.17), рассматривая комбинацию

можно показать, что в данной ситуации она тождественно равна нулю. Это устанавливается прямым, хотя и несколько громоздким вычислением с использованием уравнений (4.12.32 а, б, в, г, е) модифицированного формализма спиновых коэффициентов совместно с перестановочными соотношениями (4.12.35) и (4.12.33) применительно к и (4.12.34) применительно к с учетом соотношений (5.12.20) — (5.12.25) и равенств

Из равенства нулю комбинации (5.12.26) и равенств находим что и требовалось доказать. (Случаи аналогичны и даже проще.) Таким образом, интеграл в формуле (5.12.15) не зависит от специального выбора поперечного сечения гиперповерхности т. е. первое утверждение доказано.

Рассмотрим теперь поперечное сечение которое получается как пересечение гиперповерхности с пространственноподобной гиперплоскостью, проходящей вблизи точки Р (в прошлом или в будущем). Пусть имеет радиус (и выберем или в зависимости от того, лежит ли в прошлом или в будущем по отношению к событию Р). Тогда [гл. 4, § 15, в частности формулы (4.15.3), (4.15.9) и (4.15.12)] находим

и, следовательно, каждая из величин расходится как при Поскольку поле является гладким в точке Р и площадь поверхности 96 имеет порядок вклады членов [формула (5.12.8)] обращаются в нуль в этом пределе и остается единственный член — Поэтому интеграл (5.12.6) принимает вид

В рассматриваемом пределе можно вынести за знак интеграла, взяв значение поля в точке Р. Далее используем лемму (4.15.86) при с учетом определения (5.12.7), что позволяет установить требуемое согласие с формулой (5.12.15). Множители можно сократить в обеих частях равенства, поскольку величина «И произвольна [формула (3.3.23)]. Таким образом, формула (5.12.6) доказана.

1
Оглавление
email@scask.ru