Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Спинорные объекты и спиновая структура

Для более точного определения спинорного объекта мы должны сначала рассмотреть некоторые свойства обычных поворотов. Многообразие собственных поворотов в евклидовом 3-пространстве обозначается символом Многообразием можно также пользоваться для представления различных ориентаций объекта в пространстве. Если одну из таких ориентаций назвать «исходной» ориентацией и представить ее тождественным элементом многообразия то всякий другой элемент будет представлять ориентацию, получающуюся иа исходной посредством упомянутого поворота.

Всякий поворот определяется некой осью и правовинтовым вращением на некий угол Следовательно, он может быть представлен вектором длины 0 в направлении оси Поскольку мы можем рассматривать только интервал , всякая точка многообразия соответствует точке замкнутого шара В радиусом Но это соответствие не однозначно, поскольку поворот относительно на угол представляет собой то же самое, что и поворот относительно на угол . Идентифицировав противоположные точки границы шара В, мы получим пространство В, представляющее повороты единственным и непрерывным образом (иными словами, близкие точки пространства В представляют незначительно различающиеся повороты).

Нас интересует топология и особенно вопрос о связности пространства В: Пространство называется односвязным, если всякий замкнутый контур в нем может быть непрерывно стянут в точку. (Это условие выполняется, очевидно, для всего евклидового пространства, для обычной сферической поверхности и для евклидова 3-пространства с одной удаленной точкой. Оно не выполняется для поверхности тора, для окружности, для евклидового 3-пространства с одной удаленной замкнутой кривой и для евклидова 2-пространства с одной удаленной точкой.) Односвязный характер пространства иначе выражается следующим образом: если — две незамкнутые кривые, соединяющие две точки этого пространства, то кривая может быть непрерывно деформирована в кривую

Рис. 1.12. Пространство представляет собой замкнутый 3-шар, противоположные точки на границе которого идентифицированы. Путем непрерывной деформации кривой в можно устранить пары ее пересечений с границей.

Пространство В не является односвязным. Замкнутые контуры в В распадаются на два несвязанных класса I и II соответственно тому, имеют они нечетное или четное число «пересечений» с границей Пересечение происходит, когда кривая достигает и повторяется на диаметрально противоположном конце (в чем убеждаемся посредством идентификации точек). К классу I относятся, например, все диаметры шара В. К классу

II относятся все внутренние контуры и, в частности, «тривиальные» контуры, состоящие из одной точки. Ни один контур класса I не может быть непрерывной деформацией переведен в какой-либо контур класса II, поскольку точки пересечения с могут возникать и исчезать только парами. Но все контуры класса I могут быть непрерывной деформацией переведены друг в друга, и аналогичное утверждение справедливо для контуров класса И. В справедливости этого убеждаемся на том основании, что пересечения с могут быть исключены попарно (на рис. 1.12 показано, каким образом это делается, по этапам), а внутренние контуры, равно как и контуры, пересекающие границу однократно, очевидно, могут быть деформированы один в другой.

Рассмотрим теперь непрерывный поворот объекта в евклидовом 3-пространстве, приводящий этот объект к его исходной ориентации. Такой поворот соответствует замкнутому контуру в многообразии (а следовательно, и в пространстве В), который может относиться либо к классу I, либо к классу II. Очевидно, что в случае простого вращения на угол мы получим контур класса I, тогда как вращение на дает контур класса II. Из сказанного ранее ясно, что вращение на (где должно учитываться полное движение, а не только начальная и конечная ориентации) нельзя непрерывным образом деформировать в тривиальное движение, отвечающее отсутствию вращения, тогда как вращение на — можно. Этот вывод был бы

отнюдь не очевидным без проведенного выше рассмотрения с шаром В.

Существует много способов проиллюстировать этот результат. Один из путей осуществления непрерывной деформации вращения на в тривиальное вращение, отвечающее отсутствию вращения, заключается в следующем (по X. Вейлю). Рассмотрим пару прямых конусов с равными полууглами а в пространстве, причем один из конусов закреплен, а другой свободно катится по закрепленному таким образом, что их вершины остаются совмещенными. Начнем с очень малого а и прокатим подвижный конус один раз вокруг закрепленного так, что подвижный конус выполнит вращение на Будем постепенно увеличивать а от 0 до . При каждом фиксированном а мы имеем замкнутое движение, поскольку подвижный конус оборачивается один раз вокруг закрепленного. Но когда а приближается к конусы становятся почти плоскими, а движение превращается в простое касание. Таким образом, при мы получаем «тривиальный» контур в и вращение на угол непрерывно деформируется в тривиальное вращение, отвечающее состоянию покоя.

В хорошо известной дираковской головоломке с ножницами (рис. 1.13) шнурок продевается через одно кольцо ножниц, пропускается за одной стойкой спинки стула, продевается через другое кольцо ножниц, пропускается за другой стойкой спинки стула, а затем его концы связывают. Ножницы поворачивают на угол относительно их оси симметрии, и предлагается распутать шнурок, не вращая ножниц и не двигая стул. То обстоятельство, что такая задача может быть решена для но не для является следствием описанных выше свойств многообразия Решение становится тривиально простым, если четыре отрезка шнурка (который нужен только для того, чтобы запутать суть дела) представить себе приклеенными (произвольным образом) к ленте, зацепленной за стул: скрутка ленты на будет распутана, если средней частью ленты обвести один раз вокруг ее свободного конца. Это решение дает также другой способ непрерывного деформирования вращения на в тривиальное вращение, отвечающее состоянию покоя. Если принять, что ножницы могут свободно скользить вдоль ленты, то каждый участок ленты во время раскручивания даст замкнутую траекторию в конфигурационном пространстве ножниц. Первый приведет к вращению на последний — к тривиальному вращению, отвечающему состоянию покоя.

Рис. 1.13. Дираковская головоломка с ножницами: поверните ножницы на 720°, после чего распутайте шнурок, не двигая стул и не поворачивая ножницы. С лентой это сделать проще.

Связность пространства В можно также рассматривать, исследуя «незамкнутые» кривые, соединяющие точку Р с точкой Снова (для фиксированных Р и эти кривые распадаются на два класса I и II соответственно нечетному или четному числу их пересечений с . И снова всякая кривая одного класса может быть непрерывно деформирована в любую другую кривую того же самого класса, но не может быть непрерывной деформацией переведена ни в какую кривую другого класса. Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Однако здесь имеется небольшое отличие, связанное с тем, что между этими двумя классами нельзя провести существенного топологического разграничения. (В случае замкнутых контуров разграничение между классами I и II является существенным топологическим разграничением: все контуры класса II и только класса II могут быть стянуты в точку.) Такая ситуация возникает потому, что с точки зрения топологии пространства В конкретное местоположение поверхности не имеет значения; к примеру, мы можем полагать, что шар В расположен вне

и затем перемещать в одном радиальном направлении наружу и в противоположном радиальном направлении внутрь. Если кривая, соединяющая точки Р и пересекает в исходном положении один раз, то она вообще не будет пересекать в конечном положении. Заметим, что две кривые, соединяющие точки Р и принадлежат к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда первая со второй, следующей за ней в обратном направлении, образуют замкнутый контур класса II.

Если говорить об исходном евклидовом 3-пространстве, то точки Р и соответствуют двум ориентациям и С одного объекта, а путь из точки Р в точку в пространстве В отвечает непрерывному движению, начинающемуся с ориентацией и заканчивающемуся с ориентацией Как мы видим, имеется два существенно различных класса непрерывных движений от 9 к Движения каждого класса могут быть непрерывным образом деформированы одно в другое, но не могут быть деформированы в какое-либо движение другого класса. Тем не менее нет внутреннего свойства, позволяющего отличить один класс от другого.

Рассмотренная выше особенность топологии многообразия связана с его фундаментальной группой (или первой гомотопической группой) (грубо говоря, группой топологически эквивалентных контуров в нашем смысле). Здесь эта группа имеет два и только два элемента, так что (группа целых чисел с модулем 2).

1
Оглавление
email@scask.ru