§ 5. Спинорные объекты и спиновая структура

Для более точного определения спинорного объекта мы должны сначала рассмотреть некоторые свойства обычных поворотов. Многообразие собственных поворотов в евклидовом 3-пространстве обозначается символом Многообразием можно также пользоваться для представления различных ориентаций объекта в пространстве. Если одну из таких ориентаций назвать «исходной» ориентацией и представить ее тождественным элементом многообразия то всякий другой элемент будет представлять ориентацию, получающуюся иа исходной посредством упомянутого поворота.

Всякий поворот определяется некой осью и правовинтовым вращением на некий угол Следовательно, он может быть представлен вектором длины 0 в направлении оси Поскольку мы можем рассматривать только интервал , всякая точка многообразия соответствует точке замкнутого шара В радиусом Но это соответствие не однозначно, поскольку поворот относительно на угол представляет собой то же самое, что и поворот относительно на угол . Идентифицировав противоположные точки границы шара В, мы получим пространство В, представляющее повороты единственным и непрерывным образом (иными словами, близкие точки пространства В представляют незначительно различающиеся повороты).

Нас интересует топология и особенно вопрос о связности пространства В: Пространство называется односвязным, если всякий замкнутый контур в нем может быть непрерывно стянут в точку. (Это условие выполняется, очевидно, для всего евклидового пространства, для обычной сферической поверхности и для евклидова 3-пространства с одной удаленной точкой. Оно не выполняется для поверхности тора, для окружности, для евклидового 3-пространства с одной удаленной замкнутой кривой и для евклидова 2-пространства с одной удаленной точкой.) Односвязный характер пространства иначе выражается следующим образом: если — две незамкнутые кривые, соединяющие две точки этого пространства, то кривая может быть непрерывно деформирована в кривую

Рис. 1.12. Пространство представляет собой замкнутый 3-шар, противоположные точки на границе которого идентифицированы. Путем непрерывной деформации кривой в можно устранить пары ее пересечений с границей.

Пространство В не является односвязным. Замкнутые контуры в В распадаются на два несвязанных класса I и II соответственно тому, имеют они нечетное или четное число «пересечений» с границей Пересечение происходит, когда кривая достигает и повторяется на диаметрально противоположном конце (в чем убеждаемся посредством идентификации точек). К классу I относятся, например, все диаметры шара В. К классу

II относятся все внутренние контуры и, в частности, «тривиальные» контуры, состоящие из одной точки. Ни один контур класса I не может быть непрерывной деформацией переведен в какой-либо контур класса II, поскольку точки пересечения с могут возникать и исчезать только парами. Но все контуры класса I могут быть непрерывной деформацией переведены друг в друга, и аналогичное утверждение справедливо для контуров класса И. В справедливости этого убеждаемся на том основании, что пересечения с могут быть исключены попарно (на рис. 1.12 показано, каким образом это делается, по этапам), а внутренние контуры, равно как и контуры, пересекающие границу однократно, очевидно, могут быть деформированы один в другой.

Рассмотрим теперь непрерывный поворот объекта в евклидовом 3-пространстве, приводящий этот объект к его исходной ориентации. Такой поворот соответствует замкнутому контуру в многообразии (а следовательно, и в пространстве В), который может относиться либо к классу I, либо к классу II. Очевидно, что в случае простого вращения на угол мы получим контур класса I, тогда как вращение на дает контур класса II. Из сказанного ранее ясно, что вращение на (где должно учитываться полное движение, а не только начальная и конечная ориентации) нельзя непрерывным образом деформировать в тривиальное движение, отвечающее отсутствию вращения, тогда как вращение на — можно. Этот вывод был бы

отнюдь не очевидным без проведенного выше рассмотрения с шаром В.

Существует много способов проиллюстировать этот результат. Один из путей осуществления непрерывной деформации вращения на в тривиальное вращение, отвечающее отсутствию вращения, заключается в следующем (по X. Вейлю). Рассмотрим пару прямых конусов с равными полууглами а в пространстве, причем один из конусов закреплен, а другой свободно катится по закрепленному таким образом, что их вершины остаются совмещенными. Начнем с очень малого а и прокатим подвижный конус один раз вокруг закрепленного так, что подвижный конус выполнит вращение на Будем постепенно увеличивать а от 0 до . При каждом фиксированном а мы имеем замкнутое движение, поскольку подвижный конус оборачивается один раз вокруг закрепленного. Но когда а приближается к конусы становятся почти плоскими, а движение превращается в простое касание. Таким образом, при мы получаем «тривиальный» контур в и вращение на угол непрерывно деформируется в тривиальное вращение, отвечающее состоянию покоя.

В хорошо известной дираковской головоломке с ножницами (рис. 1.13) шнурок продевается через одно кольцо ножниц, пропускается за одной стойкой спинки стула, продевается через другое кольцо ножниц, пропускается за другой стойкой спинки стула, а затем его концы связывают. Ножницы поворачивают на угол относительно их оси симметрии, и предлагается распутать шнурок, не вращая ножниц и не двигая стул. То обстоятельство, что такая задача может быть решена для но не для является следствием описанных выше свойств многообразия Решение становится тривиально простым, если четыре отрезка шнурка (который нужен только для того, чтобы запутать суть дела) представить себе приклеенными (произвольным образом) к ленте, зацепленной за стул: скрутка ленты на будет распутана, если средней частью ленты обвести один раз вокруг ее свободного конца. Это решение дает также другой способ непрерывного деформирования вращения на в тривиальное вращение, отвечающее состоянию покоя. Если принять, что ножницы могут свободно скользить вдоль ленты, то каждый участок ленты во время раскручивания даст замкнутую траекторию в конфигурационном пространстве ножниц. Первый приведет к вращению на последний — к тривиальному вращению, отвечающему состоянию покоя.

Рис. 1.13. Дираковская головоломка с ножницами: поверните ножницы на 720°, после чего распутайте шнурок, не двигая стул и не поворачивая ножницы. С лентой это сделать проще.

Связность пространства В можно также рассматривать, исследуя «незамкнутые» кривые, соединяющие точку Р с точкой Снова (для фиксированных Р и эти кривые распадаются на два класса I и II соответственно нечетному или четному числу их пересечений с . И снова всякая кривая одного класса может быть непрерывно деформирована в любую другую кривую того же самого класса, но не может быть непрерывной деформацией переведена ни в какую кривую другого класса. Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Однако здесь имеется небольшое отличие, связанное с тем, что между этими двумя классами нельзя провести существенного топологического разграничения. (В случае замкнутых контуров разграничение между классами I и II является существенным топологическим разграничением: все контуры класса II и только класса II могут быть стянуты в точку.) Такая ситуация возникает потому, что с точки зрения топологии пространства В конкретное местоположение поверхности не имеет значения; к примеру, мы можем полагать, что шар В расположен вне

и затем перемещать в одном радиальном направлении наружу и в противоположном радиальном направлении внутрь. Если кривая, соединяющая точки Р и пересекает в исходном положении один раз, то она вообще не будет пересекать в конечном положении. Заметим, что две кривые, соединяющие точки Р и принадлежат к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда первая со второй, следующей за ней в обратном направлении, образуют замкнутый контур класса II.

Если говорить об исходном евклидовом 3-пространстве, то точки Р и соответствуют двум ориентациям и С одного объекта, а путь из точки Р в точку в пространстве В отвечает непрерывному движению, начинающемуся с ориентацией и заканчивающемуся с ориентацией Как мы видим, имеется два существенно различных класса непрерывных движений от 9 к Движения каждого класса могут быть непрерывным образом деформированы одно в другое, но не могут быть деформированы в какое-либо движение другого класса. Тем не менее нет внутреннего свойства, позволяющего отличить один класс от другого.

Рассмотренная выше особенность топологии многообразия связана с его фундаментальной группой (или первой гомотопической группой) (грубо говоря, группой топологически эквивалентных контуров в нашем смысле). Здесь эта группа имеет два и только два элемента, так что (группа целых чисел с модулем 2).