Явное построение расслоений

Чтобы явно построить векторное расслоение над рассмотрим покрытие многообразия открытыми множествами над каждым из которых расслоение есть просто прямое произведение (или ), причем базисные сечения (5.4.4) имеют вид

Поскольку всякая точка многообразия лежит хотя бы в одном множестве всякая точка многообразия 91 лежит по крайней мере в одном множестве . Но некоторые точки многообразия могут лежать в двух или более множествах и тогда необходимо задать явные преобразования, характеризующие склейку. Итак, если то пара

и пара будут представлять один и тот же элемент расслоения тогда и только тогда, когда

где для всякой пары и для всякой точки Р справедливо утверждение

— матрица, -гладко зависящая от — группа неособых -матриц. Для непротиворечивости нужно предположить, что

и для всякого пересечения выполняется равенство

Семейство матриц (5.4.10), удовлетворяющих условиям (5.4.11) и (5.4.12), служит для определения расслоения.

На практике бывает удобно объединить склейку слоев со склейкой самого многообразия. Тогда различные можно задать как карты на с координатами для

а для всякого пересечения определить преобразования координат. Матрицы являются -гладкими функциями этих координат, и соотношения (5.4.9), (5.4.11) и (5.4.12) заменяются соотношениями

Нетривиальность понятия векторного расслоения (в противоположность простому прямому произведению) связана с тем, что слои могут обладать симметриями (т. е. нетривиальными автоморфизмами). Это, например, очевидно в случае касательных пространств к точкам сферы поскольку такие пространства переходят в себя при поворотах. Но даже если слои одномерны (и действительны), такие симметрии могут быть. Пусть, например, каждый слой есть одномерное действительное векторное

Рис. 5.3. Лист Мебиуса как одномерное векторное расслоение над .

пространство У, не обладающее дополнительной структурой. Тогда единственным каноническим элементом пространства У будет нулевой элемент, а все остальные его элементы равноправны. Автоморфизмы пространства У задаются выбором произвольного ненулевого элемента и отображения пространства У в себя по правилу где Чтобы на простом примере показать, каким образом это может привести к нетривиальному векторному расслоению, рассмотрим лист Мебиуса (рис. 5.3). Здесь пространство базы представляет собой окружность а слои — одномерные действительные векторные пространства. Выберем для две карты с координатами 1, 1) для для в области перекрытия имеем если — (область ), и имеем если (область ). В качестве координаты в слоях выберем полагая

Поскольку и не пересекаются, ясно, что является отображением класса Заметим, что векторное расслоение в виде листа Мебиуса топологически отлично от прямого произведения пространств ориентация слоя меняет свое направление на противоположное в результате обхода вдоль окружности Необходимо привлечь автоморфизм пространства У, состоящий в умножении на отрицательное число, и поэтому существенно, что слои не являются каноническими копиями пространства не допускающего таких автоморфизмов. Можно также проиллюстрировать различие между цилиндром

рассматриваемым как расслоение над и векторным расслоением Мебиуса, сравнив сечения: по топологическим причинам любое сечение расслоения Мебиуса должно где-то становиться нулевым, чего, очевидно, нет в случае цилиндра.

Можно предложить другой способ деформировать расслоение Чтобы построить расслоение Мебиуса, пришлось привлечь симметрию векторного пространства У. Посмотрим, как можно было бы использовать симметрию типа Предположим, что мы построили расслоение над и ввели на нем координаты в точности, как в случае листа Мебиуса, но теперь положим

Теперь, если обойти один раз окружность , мы обнаружим растяжение У в 2 раза (или сжатие при обходе в обратном направлении). Однако если применить критерий эквивалентности расслоений, который был сформулирован выше, то мы найдем, что наша «растянутая лента» не отличается от Действительно, можно найти семейство ненулевых -гладких сечений

(которое постепенно вводит множитель 2 при прохождении окружности ), и это семейство можно отобразить на постоянные сечения у — а цилиндрического расслоения

Иногда имеет смысл естественным образом ввести дополнительную структуру в векторное расслоение которая позволила бы отличить упомянутую растянутую ленту от цилиндра. Это — структура, позволяющая охарактеризовать некоторые сечения как локально-постоянные (или «горизонтальные»). В случае цилиндра локально-постоянные сечения существуют как глобальные. В случае же растянутой ленты, если сечения выдерживают локальное постоянство, мы получим расхождение в 2 раза, обойдя один раз окружность лишь нулевое сечение всюду локально-постоянно.