§ 5. Поля Янга — Миллса

Познакомившись с основными свойствами векторных расслоений, мы можем теперь сделать определенные обобщения в теории электромагнитного поля, развитой в § 1. Электромагнитное поле представляет собой простейший тип калибровочного поля, которое соответствует группе поскольку калибровочное преобразование (5.1.21) осуществляется путем умножения на скалярные поля единичного модуля, т. е. на поля элементов группы Ли Аналогичные теории можно построить для других групп Ли; соответствующие аналоги максвелловского поля называются полями Янга — Миллса [202]. Считается, что они имеют отношение к взаимодействиям элементарных частиц.

В данном параграфе будет показано, что формализм абстрактных индексов позволяет естественным образом описывать поля Янга — Миллса. При этом формулы иногда оказываютея более громоздкими, нежели в обычном подходе, но наша цель не в том, чтобы заменить последний, а в том, чтобы показать, как поля Янга — Миллса вписываются в общую схему формализма абстрактных индексов. Это имеет важное концептуальное значение, а в некоторых случаях и помогает в вычислениях (см. также [9]).

Математически теория полей Янга — Миллса тесно связана с понятием векторных расслоений и связностей в таких расслоениях. Заряженные скалярные поля (элементы пространства б) электромагнитной теории могут рассматриваться как сечения векторного расслоения, слоями которого являются одномерные комплексные векторные пространства (расслоение комплексных прямых), и тогда связность определяемая формулой (5.1.9), есть не что иное как связность в таком расслоении. Обобщение на поля Янга — Миллса состоит в том, чтобы рассматривать в качестве слоев абстрактные векторные пространства общего вида У (не имеющие прямого отношения к касательным пространствам для многообразия или соответствующим спинорным пространствам); сечения получающегося расслоенного пространства Я являются заряженными полями теории Янга — Миллса, представляющими собой пространственно-временные скаляры (т. е. не имеющими пространственно-временных индексов), а элементы некоторой непрерывной группы симметрии векторного пространства У описывают калибровочные преобразования.

Будем использовать заглавные буквы греческого алфавита в качестве абстрактных индексов, помечающих элементы векторных пространств а также модулей поперечных сечений пространства . Если -мерное векторное пространство, то элемент модуля может быть локально описан скалярными полями но ни одно из таких представлений не будет каноническим. Таким образом, чтобы сопоставить компоненты заряженному полю теории Янга — Миллса необходимо произвольно выбрать некоторый гладкий базис для пространства У в каждой точке многообразия который, хотя бы локально, мог бы служить базисом для заряженных полей в теории так что Модули определяются с помощью стандартным образом; можно также ввести спинорные (и тензорные) индексы, что приводит к модулям где теперь все типы индексов обозначены рукописными буквами

Структура пространства; связность Янга — Миллса

Векторное пространство У может быть либо действительным (и в этом случае компонентные поля отвечающие полю можно выбрать действительными), либо комплексным. В действительном случае для обозначения модуля -заряженных полей мы будем пользоваться символом а не поскольку это в самом деле -модуль (имеющий в качестве коэффициентов действительные скалярные поля), а не -модуль (имеющий комплексные поля в качестве коэффициентов). Тем не менее и в действительном случае можно ввести комплексификацию представляющую собой -модуль; при этом компонентные поля элемента будут принадлежать модулю Иногда удобно вводить комплексный базис и в действительном пространстве тогда компоненты могут быть комплексными, даже если Аналогичное положение имеет место при выборе изотропной тетрады для описания элементов пространства т. е. пространства действительных касательных векторов.

Тензорная алгебра или удовлетворяет правилам § 4, а также гл. 2. Следовательно, суммы, произведения, свертки и перестановки индексов можно образовывать как обычно, а в случае можно ввести также операцию комплексного сопряжения, которая переводит в антиизоморфную систему с новым индексом Ф. В случае действительного пространства У комплексное сопряжение также

можно применять к комплексификации действительной тензорной системы, но здесь мы будем иметь причем действительными являются тензоры, инвариантные по отношению к комплексному сопряжению. (Это аналогично тому, что латинские индексы пространственно-временных тензоров не изменяются при комплексном сопряжении, тогда как спинорные индексы становятся штрихованными или нештрихованными.)

Пространство обычно обладает некоторой дополнительной структурой, характеризующейся тем, что определенная группа Ли действующая как группа линейных преобразований на У, эту структуру сохраняет. Так, например, V может быть трехмерным действительным векторным пространством, а — ортогональной группой действующей на стандартным образом. В этом случае будет существовать элемент положительно определенный если и симметричный который инвариантен относительно преобразований группы 3. Обратно, группа характеризуется тем, что оставляет инвариантным элемент будучи наиболее широкой линейной группой на У, обладающей этим свойством. Аналогично, группа будет характеризоваться тем, что оставляет инвариантной пару элементов где определено как и выше, а Офефхра . В качестве другого примера можно рассмотреть группу Э, включающую, помимо преобразований группы масштабные преобразования, если потребовать, чтобы инвариантным оставалось произведение где — величина, обратная . В случае, когда — комплексное векторное пространство, можно ввести эрмитову структуру на . Так, например, возникает группа если положительно определенная эрмитова билинейная форма если на где — комплексно-сопряженное к задана как инвариантная, или, что эквивалентно, задан инвариантный изоморфизм между и пространством дуальным к Если принять последнюю точку зрения, то удобно отождествить с и таким образом избавиться от штрихованных индексов (что мы и сделаем в т. 2 в несколько ином контексте, а именно в теории твисторов; см. гл. 6, в особенности § 9).

В частном случае электродинамики мы имеем и — одномерное комплексное эрмитово пространство. Здесь использовать обозначения формализма абстрактных индексов не имеет особого смысла. Всякое пространство одномерно, его элементы симметричны по всем индексам, так что перестановка

индексов ничего не изменяет. Свертка не ведет к потере информации, а поэтому пространство канонически эквивалентно пространству и т. д. (поскольку всякий элемент первого можно свернуть по индексам А и Т без потери информации), и поэтому любой такой модульанонически эквивалентен одной из систем (заряд нуль), или . Наконец, в силу существования эрмитовой структуры на У можно отождествить так что комплексное сопряжение лишь изменяет знак заряда и не вносит ничего нового. Таким образом, все пространства оказываются канонически эквивалентными друг другу при любом заданном значении заряда есть число верхних нештрихованных индексов минус число нижних нештрихованных индексов минус число верхних штрихованных индексов плюс число нижних штрихованных индексов) и неэквивалентными при разных значениях заряда. Более общее пространство обладающее также спинорными индексами, получается в результате образования произведений с определенными выше «заряженными скалярами», что приводит к заряженной тензорной алгебре типа рассмотренной в § 1.

До сих пор в случае пространства У и группы 9 общего вида нам было достаточно задать соответствующую абстрактную тензорную алгебру для заряженных полей Само поле Янга — Миллса можно выразить через связность (или представить в виде связности) в расслоении пространства определенную в соответствии с формулами (5.4.17) — (5.4.19). Эта связность может быть затем распространена на случай -заряженного модуля общего вида тем же путем, что и в гл. 4, § 2, а также в гл. 5, § 1, причем в случае комплексного У

Но дополнительно к требованиям (5.4.17) — (5.4.19) мы потребуем, чтобы оператор сохранял (при параллельном переносе, задаваемом им, векторов расслоения структуру слоев У, характеризуемую группой . Если группа определена как наиболее широкая группа, оставляющая инвариантной набор «канонических» элементов модулей (например, и или рассмотренные выше), то один из способов сделать это состоит в наложении требования, чтобы действие оператора на величины из данного набора давало нуль. Однако, пожалуй, было бы более естественно сформулировать это дополнительное условие для оператора на основе самой

группы вместо того, чтобы апеллировать к элементам модулей высшей валентности. С этой целью мы введем понятие калибровки и калибровочных преобразований на

Предположим, что группа задана как явная группа матриц действующих на где — размерность пространства . Структура пространства может быть задана в виде совокупности линейных отображений из в всякая пара которых связана некоторым преобразованием группы . Всякое такое линейное отображение можно понимать как задание допустимой координатной системы в пространстве У что соответствует определенному выбору базиса в Используя формализм абстрактных индексов, будем обозначать такой стандартный базис символом

преобразование от этого базиса к другому выражается соотношением

(Здесь мы используем символ а не , как ранее, чтобы подчеркнуть, что теперь выбран стандартный базис, а также чтобы обратить внимание на то, что эта процедура обобщает введение скалярного поля а в электромагнитном случае.) Набор стандартных базисов (5.5.2), связанных между собой преобразованием (5.5.3), дает еще один способ охарактеризовать структуру, вводимую на группой

Рассмотрим теперь поля таких стандартных базисов, т. е. наборы линейно-независимых сечений пространства . Соотношения (5.5.2) и (5.5.3) в каждой точке остаются справедливыми, но теперь

для всех Такой набор полей называется калибровкой для (или ); матрица задает калибровочное преобразование. Калибровка всегда существует в локальном смысле, однако по топологическим причинам может и не существовать глобально. Задание глобальной калибровки имеет своим результатом то, что на математическом языке называется тривиализацией расслоения .

Оператор будет сохранять эту структуру на , если при параллельном переносе один допустимый базис переходит в другой допустимый базис. Поэтому мы подробнее рассмотрим операцию параллельного переноса, что понадобится нам и здесь, и далее. Пусть — некоторая гладкая кривая в многообразии

имеющая в качестве касательного вектора, отвечающего выбору гладкого параметра и на y (т. е. вектор нормирован так, что ). Некоторое (тензорное, спинорное -заряженное) поле К называется параллельно переносимым вдоль у, если действие на него оператора дает нуль. Обозначим через оператор, действие которого на поле А. заданное вдоль кривой у, Дает новое поле

тоже заданное вдоль кривой такое, что значение поля в точке Р (скажем, при значении параметра получается из значения в точке (с параметром параллельным переносом назад вдоль у из в Р. Эта операция хорошо определена во всех точках кривой у, для которых существуют точки кривой соответствующие увеличению параметра на Ее можно также применять к полям на если принадлежит гладкой конгруэнции кривых с параметризацией, изменяющейся гладким образом. Как мы увидим далее, если аналитичны и величина достаточно мала, выражение (5.5.5) можно переписать в виде, который подсказывается принятым обозначением этого оператора [формула (5.11.6)]:

где знак равенства следует понимать в смысле параллельного переноса вдоль кривой у. Однако для наших целей достаточно ограничиться первыми двумя членами, и требование аналитичности налагать не обязательно.

В свете сказанного выше оператор сохраняет структуру пространства если

для некоторой матрицы из которая гладким образом стремится к единичной матрице при Разделив (5.5.6) на и перейдя к пределу при (т. е. сохраняя члены только первого порядка по и), находим

где

Матрица принадлежит не группе но алгебре Ли (этой группы), на основании которой элементы (достаточно близкие к единице) можно восстановить путем экспоненциирования.

Вводя как величины, дуальные

мы получаем требуемое условие для оператора в виде

Матрица