Регулярность в точке О

Мы не будем касаться более сложных вопросов, связанных, скажем, с отказом от требования аналитичности или с заменой светового конуса характеристической (т. е. изотропной) гиперповерхностью более общего вида. Можно было бы, например, ожидать, что заданием изотропных начальных значений на верхней половине светового конуса будут определяться поля внутри (по крайней мере не слишком далеко от точки О). Но для ответа на эти вопросы изложенных методов недостаточно. В § 12 будут получены некоторые формулы, используя которые, можно попытаться прояснить подобные технические проблемы для определенных типов полей. Здесь же мы коснемся единственной довольно общей проблемы такого рода — о поведении изотропных данных в вершине О светового конуса Поскольку О — сингулярная точка на остается неясным, какого рода условиям гладкости должны удовлетворять функции, описывающие изотропные начальные данные в этой точке.

В данной связи нужно учитывать характер зависимости от в несингулярной точке светового конуса При преобразовании

имеем

т. е. в терминологии гл. 4, § 13 величина представляет собой скаляр типа если выбирается спиновая система отсчета в каждой точке конуса такая, что

(В каждой точке X светового конуса спинор определен, разумеется, с точностью до коэффициента пропорциональности, так как он соответствует касательной к образующей конуса проходящей через точку X.) Напомним, что целое или полуцелое число

есть спиновый вес величины

Рассмотрим теперь -скаляр заданный на конусе но вне связи с полным пространством-временем . В качестве определения аналитичности функции можно принять существование разложения вида

сходящегося в некоторой окрестности точки О в случае изотропного вектора заданного в точке О, где — постоянные, определенные в точке О. Мы имеем спиноров и спиноров что приводит к величине являющейся, как и требуется, скаляром типа Ясно, что функция заданная формулами (5.11.10) и (5.11.11), будет в этом смысле аналитичной. [Поскольку — скаляр, указание пути в формуле (5.11.17) существенно лишь в случае заряженных полей. Но можно и в этом случае не считаться с ним, если выбрать электромагнитный потенциал в виде аналитической функции, опять-таки в смысле равенства (5.11.17).]

Рассмотрим характер регулярности функции в вершине О, определяемый разложением (5.11.17). Для этого будем считать касательное пространство в точке О пространством Минковского М из гл. 4, § 15, а вершину О — точкой Полагая, как в формуле (5.11.15), так что находим, что

член в сумме (5.11.17) будет иметь вид (4.15.41). Из того, что говорилось в связи с формулами (4.15.43) — (4.15.57), следует, что (по отношению к произвольно выбранной временной оси в точке О) член (коэффициент при есть линейная хомбинация сферических гармоник со спиновым весом причем

Посмотрим, что это означает в случае Тогда в степенном разложении функции коэффициент при будет содержать обычные сферические гармоники только порядков Это можно сопоставить с поведением аналитической функции переменных в обычном евклидовом 3-пространстве, представленной в сферических координатах В этом случае коэффициент при будет содержать сферические гармоники лишь порядка нечетно) или четно). Можно сказать, что аналитическая -функция на несет вдвое больше информации, чем обычная аналитическая скалярная функция в евклидовом 3-пространстве. Это можно понимать как одно из «объяснений» уменьшения в 2 раза числа функций, задающих начальные условия на изотропной гиперповерхности по сравнению с начальными условиями, которые нужно задать на пространственноподобной гиперповерхности, поскольку каждая функция на «стоит двух». Это, однако, еще далеко от полного объяснения.

Небезынтересно отметить любопытное свойство нулей функции на в случае . В типичном случае будем иметь линий таких нулей, входящих в вершину О, причем

Отчасти это вытекает из топологических рассуждений, а отчасти из анализа, который будет дан в гл. 8, § 8.