Выражения для спиновых коэффициентов

При вычислениях удобно ввести для каждой из 16 величин свое обозначение. Стандартные (несколько модифицированные) обозначения даны в следующей таблице:

(Мы используем стандартный выбор знаков для хотя его нельзя считать вполне удачным.) Преимущества введения штрихованных индексов в том, что при замене

(которая сохраняет соотношение штрихованные и нештрихованные величины меняются местами. Если обозначить эту операцию штрихом, то два последовательных штриха оставляют спиновые коэффициенты неизменными, а знак диады меняется на противоположный. Очевидно, что эта операция коммутирует с комплексным сопряжением, так что Я может означать

и Операция «штрих» коммутирует также со сложением и умножением. Для дальнейшего [формула (4.5.19)] полезны следующие соотношения:

Явные выражения для спиновых коэффициентов через базисные спиноры представлены в формуле-таблице (4.5.21). Они лолучены с помощью (4.5.16) и (4.5.2). В формуле-таблице (4.5.22) даны их выражения через (ненормированную) изотропную тетраду

этот выбор отличается от (3.1.14) нормировкой

Вторая таблица получается из первой после подстановки вместо и т. д. величин и И с последующим использованием соотношений (4.5.24) и (4.5.25). Отметим, что в формализме спиновых коэффициентов роль «вектора» оператора ковариантной лроизводной играют четыре «скалярных» оператора (так называемые внутренние производные вдоль направлений тетрады), для которых ниже, в формуле (4.5.23), вводятся специальные символы (ранее мы часто обозначали оператор символом Д)

где

Соотношения, позволяющие убедиться в правильности выражения (4.5.22), получаются применением правила Лейбница к: производным в равенствах и т. д.

Заметим, что тетрада определяет только модуль х [формула (4.5.20)], следовательно, величины определены неоднозначно, если не накладывать дополнительные требования, скажем, фиксировать х действительным.

Мы приведем некоторые полезные формулы, эквивалентные формуле-таблице (4.5.21), а также комплексно-сопряженные выражения

и

Напомним, что для спиновых коэффициентов и производных по направлению операции, обозначаемые символами «черта» и «штрих», коммутируют. Из (3.1.14), (4.5.26) и (4.5.27) мы

теперь получаем

Заметим, что некоторые из этих соотношений являются следствием остальных в силу равенств (4.5.18). Сокращенные обозначения для (4.5.26) - (4-5.28) будут приведены в § 12 [формулы (4.12.28) и далее].

Обычно в приложениях спинорный базис нормируется тогда выражения (4.5.22) несколько упрощаются и вследствие симметрии (4.5.5) мы имеем Величины часто обозначают также символами Таким образом, имеем в этом случае

Почти всем (нормированным) спиновым коэффициентам в подходящих условия можно дать наглядное геометрическое представление в терминах конгруэнций кривых, к которым касательны флагштоки спиноров о и Но мы это отложим до гл. 7 (§ 1).