Введение

Пространство-время, в котором мы живем, с очень высокой степенью точности можно рассматривать как гладкое четырехмерное многообразие, наделенное гладкой лоренцевой метрикой эйнштейновской специальной или общей теории относительности. Наиболее употребительным формализмом для математического описания многообразий и их метрик являётся, как известно, тензорный анализ (или один из эквивалентных альтернативных подходов типа картановского исчисления подвижных реперов). Случайно или нет, но именно для четырехмерных многообразий с лоренцевой метрикой существует другой формализм, во многих отношениях более удобный. Это 2-спинорный формализм. Прошло уже около 70 лет, как Картан впервые ввел общее понятие спинора, и более 50 лет, как Дирак на примере своего уравнения для электрона продемонстрировал фундаментальную роль спиноров в релятивистской физике, а ван дер Верден разработал основы 2-спинорной алгебры и построил систему обозначений — однако до сих пор 2-спинорное исчисление все еще сравнительно непривычно.

Мы писали данную книгу с целью более активного внедрения упомянутых выше идей в практику научных исследований. В ней подробно развивается 2-спинорное исчисление, причем от читателя не требуется предварительного знакомства с этим предметом. Мы показываем, что 2-спинорное исчисление может трактоваться либо как полезное дополнение к более привычному исчислению мировых тензоров, либо как практическая альтернатива последнему. Здесь мы ограничимся рассмотрением исключительно 2-спиноров, а не 4-спиноров, которые стали более привычными объектами для физиков-теоретиков. Дело в том, что только на основе 2-спиноров можно получить практическую альтернативу общепринятому векторному и тензорному исчислению, поскольку 2-спиноры представляют собой более простые элементы, из которых легко могут быть построены как 4-спиноры, так и мировые тензоры.

Спинорное исчисление позволяет исследовать более глубокий уровень структуры пространства-времени, чем общепринятое исчисление мировых тензоров. Подход, основанный на мировых тензорах, менее изящен по сравнению с 2-спинорным, наталкивается на трудности с описанием некоторых тонких свойств пространства-времени, существенных в квантовой механике, и к тому же (что немаловажно) приводит иногда к чрезвычайно громоздким математическим выкладкам. (Преимущество тензорного исчисления — в его универсальной применимости к многообразиям произвольной размерности, а не в возможности описывать конкретный тип многообразий — пространство-время.)

Фактически любые вычисления, проведенные с применением мировых тензоров, могут быть по некоторому простому правилу полностью переписаны в 2-спинорной форме. В известном смысле справедливо и обратное утверждение (позже в настоящей книге мы представим исчерпывающее описание таких переходов), хотя тензорные аналоги простых спинорных вычислений могут оказаться крайне сложными. Указанная фактическая эквивалентность обоих подходов может привести некоторых скептиков к мысли о «ненужности» спиноров. Мы надеемся, однако, что наша книга поможет убедить читателя в том, что, с одной стороны, многие результаты, полученные для пространства-времени на основе спинорного подхода, могли бы остаться неоткрытыми, если бы в нашем распоряжении были одни лишь тензорные методы анализа, и с другой — имеется целый ряд свойств пространства-времени, логические предпосылки существования которых и взаимосвязь друг с другом были бы полностью замаскированы тензорным описанием.

В определенном смысле 2-спинорное исчисление проще, чем исчисление мировых тензоров. Основная причина здесь заключается в том, что базисное спиновое пространство является комплексным двумерным, а не действительным четырехмерным. Работать с двумя измерениями легче, чем с четырьмя, да к тому же комплексные алгебра и геометрия обладают целым рядом простых, элегантных и универсальных свойств, отсутствующих в действительных алгебре и геометрии.

Кроме того, спиноры, по-видимому, имеют глубокую связь с комплексными величинами в квантовой механике. Несмотря на то что в данной книге мы не будем заниматься квантовой

механикой как таковой, многие из излагаемых в ней методов представляют большую ценность для квантовой теории. Хотя обсуждение наше будет полностью классическим, рассматриваемый формализм может быть без особых затруднений перенесен на квантовую (квантово-теоретико-полевую) проблематику.

Наша книга содержит первое (насколько нам известно) в литературе подробное изложение геометрии пространства-времени на основе 2-спинорного формализма. В ней есть также элементы нового и в других отношениях. Один из них — систематическое и последовательное использование метода абстрактных индексов в тензорном и спинорном исчислении. Мы надеемся, что читателя-пуриста со склонностью к дифференциальной геометрии, случайно полиставшего книгу, не оттолкнет обилие в ней бесчисленных индексов. За редким исключением жирных прямых индексов, мы не используем индексы в обычном смысле, они выступают у нас в роли абстрактных меток безотносительно к какому-либо базису или системе координат. Использование абстрактных индексов приводит к ряду упрощений по сравнению с общепринятыми методами рассмотрения. Более того, применение абстрактных индексных обозначений оказывается весьма существенным условием ясного представления необходимых операций. (В приложении мы излагаем в общих чертах другую, эквивалентную данной, диаграммную систему обозначений, которая весьма полезна в «неофициальных» расчетах.)

Далее, в этой книге предлагается, по-видимому, новый подход к некоторым другим вопросам. Мы даем явное геометрическое представление не только 2-спиноров самих по себе, но также различных алгебраических операций над ними и соответствующей топологии. Приводим множество лемм, полезных как для спинорной, так и для общей тензорной алгебры. Впервые даем исчерпывающее изложение метода спиновых коэффициентов (не обязательно нормированных) с использованием модифицированных спин- и буст-взвешенных операторов вместе с их конформно-инвариантными модификациями и Вводим общее понятие конформной инвариантности, а также предлагаем подход к электромагнитному полю и полю Янга — Миллса, использующий операторы с абстрактными индексами (надеемся, что не совсем изящная форма поля Янга — Миллса при таком подходе компенсируется полнотой нашего описания). Мы полагаем, что рассмотрение сферических гармоник (со спиновым весом) на основе спинорного формализма представлено здесь впервые. Наше представление точных совокупностей

полей как систем, которые распространяются определенным образом от произвольно выбранных начальных данных на световом конусе, не было раньше дано в монографической литературе. Также не встречалась в книгах соответствующая явная интегральная спинорная формула (обобщенная формула Кирхгофа—Дадемара) для безмассовых свободных полей, выраженных через упомянутые начальные данные. По-видимому, впервые здесь читатель найдет и развитую нами теорию взаимодействующих полей Максвелла и Дирака, которая построена на основе сумм интегралов, описываемых посредством зигзагообразных и ветвящихся изотропных путей.

История создания книги восходит к весне 1962 г., когда один из нас (Р. П.) проводил семинары по новой тогда теме «2-спинорный формализм в общей теории относительности», а другой (В. Р.) вел конспекты на семинарах и все больше и больше приходил к убеждению, что они могли бы послужить основой для написания книги. Размноженный набросок первых глав был роздан коллегам в то же лето. В последующие годы дальнейшая работа то возобновлялась, то приостанавливалась по мере того как «росла» сама тема. Наконец, в течение последних трех лет мы, объединив усилия, переписали все заново и почти удвоили полный объем материала, так что к настоящему моменту работа, надеемся, полностью завершена. В стиле книги мы постарались отразить неформальную и неторопливую атмосферу первоначальных семинаров, ясно излагая исходные посылки, не чураясь эвристических доказательств некоторых необходимых математических результатов, а иногда уклоняясь от основной темы и позволяя себе отступления. Конечно, существуют значительно более быстрые и более целенаправленные пути достижения требуемых результатов, но мы предпочли неторопливый темп, отчасти чтобы облегчить усвоение материала читателями, работающими самостоятельно, а отчасти чтобы подчеркнуть практическую значимость излагаемого предмета. Однако нашу весьма длинную рукопись оказалось возможным естественным образом разделить на два тома, которые могут быть прочитаны независимо. Основное содержание тома 1 кратко изложено во вводном разделе к тому 2. Ссылки первого тома на главы 6—9 относятся ко второму тому.

Мы хотели бы выразить благодарность огромному количеству людей. Назовем здесь имена тех, чей конкретный вклад быстрее всего приходит на ум, ясно сознавая, что за 20 лет, в течение которых писалась книга, некоторые имена забылись. Мы благодарны за различные виды помощи Н. Батакису, К. Бичтелеру, Р. Ботту, Н. Бакдалу. С. Чандрасекару, Ю. Элерсу, Л. Эренпрайсу, Р. Герочу, С. Хокингу, А. Хелду, Н. Хитчину, Дж. Изенбергу, Б. Джеффрису, С. Мак-Лейну, Т. Ньюмену,

Д. Пейджу, Ф. Пирани, А. Робинсону, Р. Саксу, Э. Шюкингу, У. Шоу. Т. Ширафудзи, П. Зекерешу, П. Тоду, Н. Вудхаузу и особенно Д. Шаме за его постоянную неослабевающую поддержку. Мы благодарим также М. Фирца за его замечание, которое нашло отражение в примечании на стр. 384. Особенно тепло мы благодарим Юдит Даниэльс за ее поддержку и обстоятельную проработку нашей рукописи в то время, когда работа проходила через трудный этап. Мы также весьма обязаны Цзю Шен Цзюн за ее решающее содействие в деле составления библиографического указателя и в другой работе с нашей книгой. Наконец, мы благодарим тех, кого не можем точно вспомнить, и приносим им свои извинения.

1984 Роджер Пенроуз

Вольфганг Риндлер