Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Введение

Пространство-время, в котором мы живем, с очень высокой степенью точности можно рассматривать как гладкое четырехмерное многообразие, наделенное гладкой лоренцевой метрикой эйнштейновской специальной или общей теории относительности. Наиболее употребительным формализмом для математического описания многообразий и их метрик являётся, как известно, тензорный анализ (или один из эквивалентных альтернативных подходов типа картановского исчисления подвижных реперов). Случайно или нет, но именно для четырехмерных многообразий с лоренцевой метрикой существует другой формализм, во многих отношениях более удобный. Это 2-спинорный формализм. Прошло уже около 70 лет, как Картан впервые ввел общее понятие спинора, и более 50 лет, как Дирак на примере своего уравнения для электрона продемонстрировал фундаментальную роль спиноров в релятивистской физике, а ван дер Верден разработал основы 2-спинорной алгебры и построил систему обозначений — однако до сих пор 2-спинорное исчисление все еще сравнительно непривычно.

Мы писали данную книгу с целью более активного внедрения упомянутых выше идей в практику научных исследований. В ней подробно развивается 2-спинорное исчисление, причем от читателя не требуется предварительного знакомства с этим предметом. Мы показываем, что 2-спинорное исчисление может трактоваться либо как полезное дополнение к более привычному исчислению мировых тензоров, либо как практическая альтернатива последнему. Здесь мы ограничимся рассмотрением исключительно 2-спиноров, а не 4-спиноров, которые стали более привычными объектами для физиков-теоретиков. Дело в том, что только на основе 2-спиноров можно получить практическую альтернативу общепринятому векторному и тензорному исчислению, поскольку 2-спиноры представляют собой более простые элементы, из которых легко могут быть построены как 4-спиноры, так и мировые тензоры.

Спинорное исчисление позволяет исследовать более глубокий уровень структуры пространства-времени, чем общепринятое исчисление мировых тензоров. Подход, основанный на мировых тензорах, менее изящен по сравнению с 2-спинорным, наталкивается на трудности с описанием некоторых тонких свойств пространства-времени, существенных в квантовой механике, и к тому же (что немаловажно) приводит иногда к чрезвычайно громоздким математическим выкладкам. (Преимущество тензорного исчисления — в его универсальной применимости к многообразиям произвольной размерности, а не в возможности описывать конкретный тип многообразий — пространство-время.)

Фактически любые вычисления, проведенные с применением мировых тензоров, могут быть по некоторому простому правилу полностью переписаны в 2-спинорной форме. В известном смысле справедливо и обратное утверждение (позже в настоящей книге мы представим исчерпывающее описание таких переходов), хотя тензорные аналоги простых спинорных вычислений могут оказаться крайне сложными. Указанная фактическая эквивалентность обоих подходов может привести некоторых скептиков к мысли о «ненужности» спиноров. Мы надеемся, однако, что наша книга поможет убедить читателя в том, что, с одной стороны, многие результаты, полученные для пространства-времени на основе спинорного подхода, могли бы остаться неоткрытыми, если бы в нашем распоряжении были одни лишь тензорные методы анализа, и с другой — имеется целый ряд свойств пространства-времени, логические предпосылки существования которых и взаимосвязь друг с другом были бы полностью замаскированы тензорным описанием.

В определенном смысле 2-спинорное исчисление проще, чем исчисление мировых тензоров. Основная причина здесь заключается в том, что базисное спиновое пространство является комплексным двумерным, а не действительным четырехмерным. Работать с двумя измерениями легче, чем с четырьмя, да к тому же комплексные алгебра и геометрия обладают целым рядом простых, элегантных и универсальных свойств, отсутствующих в действительных алгебре и геометрии.

Кроме того, спиноры, по-видимому, имеют глубокую связь с комплексными величинами в квантовой механике. Несмотря на то что в данной книге мы не будем заниматься квантовой

механикой как таковой, многие из излагаемых в ней методов представляют большую ценность для квантовой теории. Хотя обсуждение наше будет полностью классическим, рассматриваемый формализм может быть без особых затруднений перенесен на квантовую (квантово-теоретико-полевую) проблематику.

Наша книга содержит первое (насколько нам известно) в литературе подробное изложение геометрии пространства-времени на основе 2-спинорного формализма. В ней есть также элементы нового и в других отношениях. Один из них — систематическое и последовательное использование метода абстрактных индексов в тензорном и спинорном исчислении. Мы надеемся, что читателя-пуриста со склонностью к дифференциальной геометрии, случайно полиставшего книгу, не оттолкнет обилие в ней бесчисленных индексов. За редким исключением жирных прямых индексов, мы не используем индексы в обычном смысле, они выступают у нас в роли абстрактных меток безотносительно к какому-либо базису или системе координат. Использование абстрактных индексов приводит к ряду упрощений по сравнению с общепринятыми методами рассмотрения. Более того, применение абстрактных индексных обозначений оказывается весьма существенным условием ясного представления необходимых операций. (В приложении мы излагаем в общих чертах другую, эквивалентную данной, диаграммную систему обозначений, которая весьма полезна в «неофициальных» расчетах.)

Далее, в этой книге предлагается, по-видимому, новый подход к некоторым другим вопросам. Мы даем явное геометрическое представление не только 2-спиноров самих по себе, но также различных алгебраических операций над ними и соответствующей топологии. Приводим множество лемм, полезных как для спинорной, так и для общей тензорной алгебры. Впервые даем исчерпывающее изложение метода спиновых коэффициентов (не обязательно нормированных) с использованием модифицированных спин- и буст-взвешенных операторов вместе с их конформно-инвариантными модификациями и Вводим общее понятие конформной инвариантности, а также предлагаем подход к электромагнитному полю и полю Янга — Миллса, использующий операторы с абстрактными индексами (надеемся, что не совсем изящная форма поля Янга — Миллса при таком подходе компенсируется полнотой нашего описания). Мы полагаем, что рассмотрение сферических гармоник (со спиновым весом) на основе спинорного формализма представлено здесь впервые. Наше представление точных совокупностей

полей как систем, которые распространяются определенным образом от произвольно выбранных начальных данных на световом конусе, не было раньше дано в монографической литературе. Также не встречалась в книгах соответствующая явная интегральная спинорная формула (обобщенная формула Кирхгофа—Дадемара) для безмассовых свободных полей, выраженных через упомянутые начальные данные. По-видимому, впервые здесь читатель найдет и развитую нами теорию взаимодействующих полей Максвелла и Дирака, которая построена на основе сумм интегралов, описываемых посредством зигзагообразных и ветвящихся изотропных путей.

История создания книги восходит к весне 1962 г., когда один из нас (Р. П.) проводил семинары по новой тогда теме «2-спинорный формализм в общей теории относительности», а другой (В. Р.) вел конспекты на семинарах и все больше и больше приходил к убеждению, что они могли бы послужить основой для написания книги. Размноженный набросок первых глав был роздан коллегам в то же лето. В последующие годы дальнейшая работа то возобновлялась, то приостанавливалась по мере того как «росла» сама тема. Наконец, в течение последних трех лет мы, объединив усилия, переписали все заново и почти удвоили полный объем материала, так что к настоящему моменту работа, надеемся, полностью завершена. В стиле книги мы постарались отразить неформальную и неторопливую атмосферу первоначальных семинаров, ясно излагая исходные посылки, не чураясь эвристических доказательств некоторых необходимых математических результатов, а иногда уклоняясь от основной темы и позволяя себе отступления. Конечно, существуют значительно более быстрые и более целенаправленные пути достижения требуемых результатов, но мы предпочли неторопливый темп, отчасти чтобы облегчить усвоение материала читателями, работающими самостоятельно, а отчасти чтобы подчеркнуть практическую значимость излагаемого предмета. Однако нашу весьма длинную рукопись оказалось возможным естественным образом разделить на два тома, которые могут быть прочитаны независимо. Основное содержание тома 1 кратко изложено во вводном разделе к тому 2. Ссылки первого тома на главы 6—9 относятся ко второму тому.

Мы хотели бы выразить благодарность огромному количеству людей. Назовем здесь имена тех, чей конкретный вклад быстрее всего приходит на ум, ясно сознавая, что за 20 лет, в течение которых писалась книга, некоторые имена забылись. Мы благодарны за различные виды помощи Н. Батакису, К. Бичтелеру, Р. Ботту, Н. Бакдалу. С. Чандрасекару, Ю. Элерсу, Л. Эренпрайсу, Р. Герочу, С. Хокингу, А. Хелду, Н. Хитчину, Дж. Изенбергу, Б. Джеффрису, С. Мак-Лейну, Т. Ньюмену,

Д. Пейджу, Ф. Пирани, А. Робинсону, Р. Саксу, Э. Шюкингу, У. Шоу. Т. Ширафудзи, П. Зекерешу, П. Тоду, Н. Вудхаузу и особенно Д. Шаме за его постоянную неослабевающую поддержку. Мы благодарим также М. Фирца за его замечание, которое нашло отражение в примечании на стр. 384. Особенно тепло мы благодарим Юдит Даниэльс за ее поддержку и обстоятельную проработку нашей рукописи в то время, когда работа проходила через трудный этап. Мы также весьма обязаны Цзю Шен Цзюн за ее решающее содействие в деле составления библиографического указателя и в другой работе с нашей книгой. Наконец, мы благодарим тех, кого не можем точно вспомнить, и приносим им свои извинения.

1984 Роджер Пенроуз

Вольфганг Риндлер

1
Оглавление
email@scask.ru