Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ВведениеПространство-время, в котором мы живем, с очень высокой степенью точности можно рассматривать как гладкое четырехмерное многообразие, наделенное гладкой лоренцевой метрикой эйнштейновской специальной или общей теории относительности. Наиболее употребительным формализмом для математического описания многообразий и их метрик являётся, как известно, тензорный анализ (или один из эквивалентных альтернативных подходов типа картановского исчисления подвижных реперов). Случайно или нет, но именно для четырехмерных многообразий с лоренцевой метрикой существует другой формализм, во многих отношениях более удобный. Это 2-спинорный формализм. Прошло уже около 70 лет, как Картан впервые ввел общее понятие спинора, и более 50 лет, как Дирак на примере своего уравнения для электрона продемонстрировал фундаментальную роль спиноров в релятивистской физике, а ван дер Верден разработал основы 2-спинорной алгебры и построил систему обозначений — однако до сих пор 2-спинорное исчисление все еще сравнительно непривычно. Мы писали данную книгу с целью более активного внедрения упомянутых выше идей в практику научных исследований. В ней подробно развивается 2-спинорное исчисление, причем от читателя не требуется предварительного знакомства с этим предметом. Мы показываем, что 2-спинорное исчисление может трактоваться либо как полезное дополнение к более привычному исчислению мировых тензоров, либо как практическая альтернатива последнему. Здесь мы ограничимся рассмотрением исключительно 2-спиноров, а не 4-спиноров, которые стали более привычными объектами для физиков-теоретиков. Дело в том, что только на основе 2-спиноров можно получить практическую альтернативу общепринятому векторному и тензорному исчислению, поскольку 2-спиноры представляют собой более простые элементы, из которых легко могут быть построены как 4-спиноры, так и мировые тензоры. Спинорное исчисление позволяет исследовать более глубокий уровень структуры пространства-времени, чем общепринятое исчисление мировых тензоров. Подход, основанный на мировых тензорах, менее изящен по сравнению с 2-спинорным, наталкивается на трудности с описанием некоторых тонких свойств пространства-времени, существенных в квантовой механике, и к тому же (что немаловажно) приводит иногда к чрезвычайно громоздким математическим выкладкам. (Преимущество тензорного исчисления — в его универсальной применимости к многообразиям произвольной размерности, а не в возможности описывать конкретный тип многообразий — пространство-время.) Фактически любые вычисления, проведенные с применением мировых тензоров, могут быть по некоторому простому правилу полностью переписаны в 2-спинорной форме. В известном смысле справедливо и обратное утверждение (позже в настоящей книге мы представим исчерпывающее описание таких переходов), хотя тензорные аналоги простых спинорных вычислений могут оказаться крайне сложными. Указанная фактическая эквивалентность обоих подходов может привести некоторых скептиков к мысли о «ненужности» спиноров. Мы надеемся, однако, что наша книга поможет убедить читателя в том, что, с одной стороны, многие результаты, полученные для пространства-времени на основе спинорного подхода, могли бы остаться неоткрытыми, если бы в нашем распоряжении были одни лишь тензорные методы анализа, и с другой — имеется целый ряд свойств пространства-времени, логические предпосылки существования которых и взаимосвязь друг с другом были бы полностью замаскированы тензорным описанием. В определенном смысле 2-спинорное исчисление проще, чем исчисление мировых тензоров. Основная причина здесь заключается в том, что базисное спиновое пространство является комплексным двумерным, а не действительным четырехмерным. Работать с двумя измерениями легче, чем с четырьмя, да к тому же комплексные алгебра и геометрия обладают целым рядом простых, элегантных и универсальных свойств, отсутствующих в действительных алгебре и геометрии. Кроме того, спиноры, по-видимому, имеют глубокую связь с комплексными величинами в квантовой механике. Несмотря на то что в данной книге мы не будем заниматься квантовой механикой как таковой, многие из излагаемых в ней методов представляют большую ценность для квантовой теории. Хотя обсуждение наше будет полностью классическим, рассматриваемый формализм может быть без особых затруднений перенесен на квантовую (квантово-теоретико-полевую) проблематику. Наша книга содержит первое (насколько нам известно) в литературе подробное изложение геометрии пространства-времени на основе 2-спинорного формализма. В ней есть также элементы нового и в других отношениях. Один из них — систематическое и последовательное использование метода абстрактных индексов в тензорном и спинорном исчислении. Мы надеемся, что читателя-пуриста со склонностью к дифференциальной геометрии, случайно полиставшего книгу, не оттолкнет обилие в ней бесчисленных индексов. За редким исключением жирных прямых индексов, мы не используем индексы в обычном смысле, они выступают у нас в роли абстрактных меток безотносительно к какому-либо базису или системе координат. Использование абстрактных индексов приводит к ряду упрощений по сравнению с общепринятыми методами рассмотрения. Более того, применение абстрактных индексных обозначений оказывается весьма существенным условием ясного представления необходимых операций. (В приложении мы излагаем в общих чертах другую, эквивалентную данной, диаграммную систему обозначений, которая весьма полезна в «неофициальных» расчетах.) Далее, в этой книге предлагается, по-видимому, новый подход к некоторым другим вопросам. Мы даем явное геометрическое представление не только 2-спиноров самих по себе, но также различных алгебраических операций над ними и соответствующей топологии. Приводим множество лемм, полезных как для спинорной, так и для общей тензорной алгебры. Впервые даем исчерпывающее изложение метода спиновых коэффициентов (не обязательно нормированных) с использованием модифицированных спин- и буст-взвешенных операторов полей как систем, которые распространяются определенным образом от произвольно выбранных начальных данных на световом конусе, не было раньше дано в монографической литературе. Также не встречалась в книгах соответствующая явная интегральная спинорная формула (обобщенная формула Кирхгофа—Дадемара) для безмассовых свободных полей, выраженных через упомянутые начальные данные. По-видимому, впервые здесь читатель найдет и развитую нами теорию взаимодействующих полей Максвелла и Дирака, которая построена на основе сумм интегралов, описываемых посредством зигзагообразных и ветвящихся изотропных путей. История создания книги восходит к весне 1962 г., когда один из нас (Р. П.) проводил семинары по новой тогда теме «2-спинорный формализм в общей теории относительности», а другой (В. Р.) вел конспекты на семинарах и все больше и больше приходил к убеждению, что они могли бы послужить основой для написания книги. Размноженный набросок первых глав был роздан коллегам в то же лето. В последующие годы дальнейшая работа то возобновлялась, то приостанавливалась по мере того как «росла» сама тема. Наконец, в течение последних трех лет мы, объединив усилия, переписали все заново и почти удвоили полный объем материала, так что к настоящему моменту работа, надеемся, полностью завершена. В стиле книги мы постарались отразить неформальную и неторопливую атмосферу первоначальных семинаров, ясно излагая исходные посылки, не чураясь эвристических доказательств некоторых необходимых математических результатов, а иногда уклоняясь от основной темы и позволяя себе отступления. Конечно, существуют значительно более быстрые и более целенаправленные пути достижения требуемых результатов, но мы предпочли неторопливый темп, отчасти чтобы облегчить усвоение материала читателями, работающими самостоятельно, а отчасти чтобы подчеркнуть практическую значимость излагаемого предмета. Однако нашу весьма длинную рукопись оказалось возможным естественным образом разделить на два тома, которые могут быть прочитаны независимо. Основное содержание тома 1 кратко изложено во вводном разделе к тому 2. Ссылки первого тома на главы 6—9 относятся ко второму тому. Мы хотели бы выразить благодарность огромному количеству людей. Назовем здесь имена тех, чей конкретный вклад быстрее всего приходит на ум, ясно сознавая, что за 20 лет, в течение которых писалась книга, некоторые имена забылись. Мы благодарны за различные виды помощи Н. Батакису, К. Бичтелеру, Р. Ботту, Н. Бакдалу. С. Чандрасекару, Ю. Элерсу, Л. Эренпрайсу, Р. Герочу, С. Хокингу, А. Хелду, Н. Хитчину, Дж. Изенбергу, Б. Джеффрису, С. Мак-Лейну, Т. Ньюмену, Д. Пейджу, Ф. Пирани, А. Робинсону, Р. Саксу, Э. Шюкингу, У. Шоу. Т. Ширафудзи, П. Зекерешу, П. Тоду, Н. Вудхаузу и особенно Д. Шаме за его постоянную неослабевающую поддержку. Мы благодарим также М. Фирца за его замечание, которое нашло отражение в примечании на стр. 384. Особенно тепло мы благодарим Юдит Даниэльс за ее поддержку и обстоятельную проработку нашей рукописи в то время, когда работа проходила через трудный этап. Мы также весьма обязаны Цзю Шен Цзюн за ее решающее содействие в деле составления библиографического указателя и в другой работе с нашей книгой. Наконец, мы благодарим тех, кого не можем точно вспомнить, и приносим им свои извинения. 1984 Роджер Пенроуз Вольфганг Риндлер
|
1 |
Оглавление
|