Связь с 3-векторами электрического и магнитного полей

В заключение данного параграфа приведем некоторые элементарные соотношения теории Максвелла в спинорной форме. Если выбрать в пространстве Минковского стандартную тетраду то компоненты тензора по определению будут следующим образом связаны с компонентами электрического и магнитного 3-векторных полей Е и В:

В стандартной спиновой системе отсчета, связанной с рассматриваемой тетрадой Минковского, находим, применяя схему перехода (3.1.38), (3.1.39), (3.1.49), из выражения (5.1.40)

где

И обратно, если положить [формула (4.12.43)]

то из выражения (5.1.39) найдем

Комплексные поля удовлетворяющие уравнениям Максвелла без источников, играют роль волновых функций отдельных фотонов. По этой причине, а также по ряду других причин, представляет интерес включить в наше изложение вкратце и этот более общий случай. Вместо соотношений (5.1.39) и (5.1.40) теперь будем иметь

где теперь следует рассматривать как независимые спинорные поля. Формула (5.1.62) с определениями (5.1.61) остается справедливой, если всюду заменить на формула (5.1.59) остается без изменений, а соответствующая формула для получается заменой на в формулах (5.1.59) и (5.160)

Дуальный тензор поля [формула (3.4.21)], соответствующий тензору (5.1.58), как легко видеть, записывается так:

Теперь два скалярных инварианта, ассоциируемых с произвольным электромагнитным полем а именно скаляры

которые, возможно, более привычны в виде

можно получить непосредственно из определений (5.1.66) и (5.1.58), (5.1.65). В спинорной форме, воспользовавшись формулами (3.4.38) и (2.5.9), будем иметь

В случае действительного поля величины Р и явно действительны и потому составляют действительную и мнимую части одного спинорного инварианта К. Если же поле комплексно, то по аналогии с (5.1.68) определим инвариант

(заметим, что если поле действительно) так, что

Если то поле изотропно, т. е. главные изотропные направления спинора (а также ) совпадают. Это непосредственно вытекает из соотношения (3.5.29).

Если то можно сказать (в случае действительного поля), что поле либо чисто электрическое, либо чисто магнитное в зависимости от того, или Оправдание этой терминологии состоит в том, что в этих случаях можно найти преобразования Лоренца (в действительности их бесконечно много), которые «уничтожают» магнитное или электрическое поле. Для этого достаточно, например, применить буст со скоростью в первом случае и со скоростью во втором. Ниже мы увидим, что в тех случаях, когда одно из полей Е или В таким образом устранено, два главных изотропных направления спинора указывают противоположные направления на римановой сфере.

Заметим также, что равенство представляет собой необходимое и достаточное условие простоты тензора [формулы (3.5.30) и (3.5.35)].

Дальнейшие сведения, касающиеся структуры электромагнитного поля, будут даны в гл. 8, § 5.