Связь с внешним исчислением

Здесь мы покажем, как аппарат внешнего исчисления на (§ 3) согласуется с нашим формализмом в теории 2-поверхностей. Пусть

будет -форма на . Для нас существенно лишь ее ограничение на , т. е. мы будем рассматривать только две компоненты

которые имеют тип соответственно. Если а — действительная величина, то вся существенная информация содержится в скаляре типа

[не путать со спиновым коэффициентом а в формуле (4.5.16)], поскольку будет тогда комплексно-сопряженной величиной. Условие, чтобы величина а (действительная или комплексная) была внешней производной

скалярной величины типа может быть записано в виде

или, если и а — действительные величины, просто как

Теперь предположим, что есть 2-форма

Для нас существенно лишь ограничение ее на т. е. единственная компонента (типа )

Отметим, что Р — действительная величина, если действительна величина . В самом деле, в силу формулы (3.1.20) мы имеем

Условие, чтобы величина была внешней производной

некоторой -формы а, таково:

Чтобы получить ограничение этого соотношения на мы проектируем его на :

где использованы равенства (4.14.13). Слагаемые, содержащие выпадают в силу предложения (4.14.2). В случае действительной величины а это принимает вид

Отметим, что если — величина типа то можно подставить (4.14.50) в (4.14.57) и это дает как и

должно быть [соотношение VIII в формуле (4.13.15)], либо операторы перестановочны в силу соотношения (4.14.1).

Фундаментальную теорему (4.3.25) внешнего исчисления можно использовать на двояко. Во-первых:

где Г — компактная область на с границей во-вторых:

причем интеграл слева берется вдоль произвольной кривой у (в области определения переменной соединяющей точки и . В последнем случае мы можем ввести голоморфные координаты в окрестности и переписать интеграл в виде

где использованы соотношения (4.14.27) и (4.14.31). В частности, если координата голоморфна выражение (4.14.60) принимает вид

Из (4.14.61) мы заключаем, полагая что

для замкнутого контура у и, в частности,

Двумерный интеграл в левой части равенства (4.14.59) может быть переписан с использованием элемента площади поверхности 9. Для начала заметим, что

где как прежде. Следовательно, если величина определена как в (4.14.52) и (4.14.53), мы имеем

где учтено, что в силу формулы (4.14.6)

При ограничении на

В то же время соотношение (4.14.66) можно непосредственно получить на основании формулы (4.14.54). Подставляя (4.14.57) в (4.14.59), получаем

где — голоморфная координата в некоторой окрестности области Поскольку компоненты независимы, имеем

для произвольного скаляра а типа на

В частности, из (и комплексно-сопряженного выражения) следует, что если — замкнутая поверхность, то

(a - скаляр типа и — скаляр типа откуда получаем следующие полезные формулы интегрирования по частям:

где суммарный тип X и равен