Свойства положительной определенности максвелловского тензора энергии-импульса

Тензор обладает важным свойством положительной определенности. Заметим, что для любой пары спиноров с соответствующими изотропными векторами

имеем

т. е. это неравенство выполняется для любой пары направленных в будущее изотропных векторов. Поскольку любой времениподобный или изотропный вектор, направленный в будущее (причинный вектор), есть сумма двух таких изотропных векторов, в силу соотношения (5.2.8) получаем следующее предложение.

Предложение

Для любой пары направленных в будущее причинных векторов выполняется соотношение

Его можно сформулировать в несколько иной форме:

Предложение

Для любого направленного в будущее причинного вектора выполняются соотношения

Поскольку соотношение (5.2.9) означает, что вектор имеет неотрицательное скалярное произведение со всеми направленными в будущее причинными векторами, он и сам является причинным [первое соотношение в формуле (5.2.10)], если вектор обладает этим свойством [второе соотношение в формуле (5.2.10)]. Условие (5.2.9) [или (5.2.10)] иногда называют условием энергодоминантности. Если — вектор 4-скорости некоторого наблюдателя, то есть соответствующий 4-вектор Пойнтинга с компонентами (энергия, 3-вектор Пойнтинга). Таким образом, в предложении (5.2.9) утверждается, что скорость потока энергии, задаваемого вектором Пойнтинга, не может превышать скорости света.

Заметим, что ослабленная форма приведенного выше энергетического условия

(называемая иногда слабым энергетическим условием) означает, что плотность энергии, измеренная некоторым наблюдателем должна быть неотрицательно определенной функцией его 4-скорости (которая для него является компонентой метрики Представляет интерес исследовать геометрическое место точек, задаваемое уравнением

Выберем сначала в качестве изотропный вектор Согласно формуле (5.2.8), произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда

а это имеет место [формула (3.5.22)], если флагшток спинора указывает в одном из двух (возможно, совпадающих) главных изотропных направлений поля (предполагается, что Это будут единственные причинные векторы для которых выполняется равенство (5.2.12). В самом деле, если вектор времениподобен и направлен в будущее, можно было бы найти направленный в будущее изотропный вектор который не был бы главным изотропным вектором поля и представить в виде линейной комбинации вектора и другого изотропного вектора. Подставив такое разложение в (5.2.12), мы получили бы сумму неотрицательных [в силу предложения (5.2.9)] членов, из которых по крайней мере один (а именно был бы строго положителен; Поэтому мы приходим к следующему заключению.

Предложение

Соотношения выполняются тогда и только тогда, когда есть главный изотропный вектор поля .

Аналогичные выводы справедливы для тензора Беля — Робинсона:

Предложение

для всех направленных в будущее причинных вектороз

Предложение

тогда и только тогда, когда — главный изотропный вектор поля

Доказательство в точности повторяет соответствующее доказательство для электромагнитного случая. Главные изотропные направления поля Чласо, как будет видно из дальнейшего, играют ключевую роль в классификации алгебраических типов тензора Вейля (гл. 8).

В гл. 4, § 8 отмечалось [формула (4.8.13)], что тензор Беля — Робинсона удовлетворяет квадратичному тождеству (помимо условий симметрии и бесследовости), хотя явное тензорное выражение для него не было найдено. В случае электромагнитного тензора энергии-импульса имеем

что непосредственно вытекает из равенства (5.2.4). Тензорная форма этого соотношения в теории Максвелла хорошо известна. Ее можно получить из (5.2.16), последовательно применяя (2.5.23):