§ 11. Спиноры кривизны и спиновые коэффициенты

В данном параграфе мы возвращаемся к компонентной записи, введенной в § 5, и показываем, как компоненты спиноров кривизны могут быть выражены через спиновые коэффициенты и внутренние производные Для начала мы вычислим коммутатор внутренних производных. При этом мы воспользуемся результатами, полученными ранее для скобок Ли. Напомним [формулы (4.3.26) и (4.3.29) при нулевом кручении что для скаляра

Теперь рассмотрим выражение

Заменив в (4.11.1) величинами получим

Выполняя в скобках дифференцирование по правилу Лейбница, учитывая (4.5.2) и объединяя этот множитель с производной V, получаем

В силу формул (4.3.32) и (4.2.24) (в отсутствие кручения) наше предыдущее уравнение (4.9.7), будучи свернуто с эквивалентно равенству

Положим в этом равенстве

а затем свернем с Первое слагаемое слева принимает вид

второе отличается от него только перестановкой и Так как по определению есть оператор в левой части (4.11.3), действующий на у? вместо для преобразования третьего слагаемого в левой части равенства (4.11.4) мы повторим вычисления, приведшие нас к (4.11.3). Но теперь операторы действуют на а следовательно, каждая внутренняя производная (с новым множителем дает и мы получаем

для этого слагаемого. В правую часть равенства (4.11.4) мы подставляем выражение (4.6.34) и переходим к диадным компонентам. Окончательно имеем

Это выражение тоже можно получить непосредственно из (4.9.7), перейдя к компонентам и используя формулы (4.5.1) и т. д. всюду, где требуется. Вычисления вполне аналогичны приведенным выше, но несколько длиннее.

Соотношения (4.11.3) и (4.11.5) представляют собой фундаментальные уравнения формализма спиновых коэффициентов. Они выглядят сложно, но при переходе к специальному базису несколько упрощаются. Мы будем пользоваться стандартными обозначениями, введенными в (4.5.16) и (4.5.23) для спиновых коэффициентов и операторов внутренних производных. Для диадных компонент спиноров Вейля и Риччи и мы введем следующие обозначения:

На основании формул (4.6.41), (4.6.20), (4.5.20) и (4.11.7) выразим эти величины через изотропную тетраду:

При использовании этих величин перестановочные соотношения (4.11.3) принимают вид

Аналогично уравнения (4.11.5) записываются в виде

(кликните для просмотра скана)

Как нетрудно видеть, уравнения (4.11.12) разбиваются на пары, в каждой из которых одно уравнение связано с другим подстановкой (4.5.17) (операция «штрих»). При этом необходимо иметь в виду правило подстановки индексов, которое следует из определений (4.11.6) и (4.11.8):

Уравнения (4.11.12) несколько упрощаются, если диада нормирована так, что При этом [формула (4.5.29)] следует отождествить а . Пары и отождествляются с парами соответственно, а отождествляются с их штрихованными формами. Таким образом, двенадцать пар уравнений сводятся к восьми таким парам и двум уравнениям, которые переходят в себя при действии операции «штрих».

Уравнения (4.11.11) и (4.11.12) особенно полезны, когда некоторые из спиновых коэффициентов равны нулю (например, в силу симметрии конкретной задачи). В этом случае они существенно упрощаются. В § 12 будет рассмотрена другая методика, которая приводит к упрощениям без дополнительной специализации коэффициентов. Тождества Бианки и уравнения Максвелла, выраженные через спиновые коэффициенты, также широко используются в литературе. Мы рассмотрим их в конце § 12, где сможем воспользоваться преимуществами модифицированного формализма спиновых коэффициентов.