§ 3. Операции симметризации и антисимметризации

Важная роль в тензорной и спинорной алгебре принадлежит двум операциям — симметризации и антисимметризации. Однако оказывается, что в силу двумерности спинового пространства последняя операция для спинорной алгебры полностью отсутствует. Тем не менее полезно будет обсудить сначала коротко упомянутые две операции в рамках более общих тензорных систем. Для начала нам будет нужно в дополнение к предполагаемой глобальной рефлексивности, которая не будет использоваться до формулы (3.3.22), только одно условие на модуль которое формулируется следующим образом: кольцо должно содержать подкольцо, изоморфное кольцу рациональных чисел. После формулы (3.3.23) мы сосредоточим наше внимание на случае, когда существует (обычно двумерный) базис.

Договоримся считать, что круглые и квадратные скобки, окружающие некоторую группу индексов, обозначают, соответственно, симметризацию и антисимметризацию (называемую иногда кососимметризацией) по рассматриваемой группе индексов. Таким образом, мы имеем

и так далее. Запишем также

и так далее. Аналогичные соотношения справедливы и для верхних индексов.

В тех случаях, когда требуется опустить некоторые индексы в процедуре симметризации или антисимметризации, будет использоваться вертикальная черта с обоих сторон той группы индексов, которая должна быть опущена. (При этом для индексов, находящихся в противоположном положении, вертикальные черточки не требуются.) Например:

Допустимо даже писать

и так далее.

Некоторые свойства операций симметризации и антисимметризации немедленно вытекают из определений. К таким свойствам относятся следующие.

Если к некоторому числу индексов применена операция симметризации, и если следующая за ней другая операция симметризации применяется к тем же самым (и, возможно, дополнительным) индексам, то первую симметризацию можно игнорировать. К примеру, если Это

может быть записано в виде Тот же самый результат справедлив и для операции антисимметризации. Таким образом,

и

Если некоторое число индексов подвергнуто симметризации, и если к двум или большему числу этих индексов (а также, возможно, дополнительным индексам) применяется последующая операция антисимметризации, то в итоге получается выражение, равное нулю. Например, если то Аналогичное справедливо и в том случае, когда операции симметризации и антисимметризации меняются местами. Таким образом, полагая, что число индексов больше двух, получаем

В общем случае утверждение о том, что операции симметризации и антисимметризации коммутируют друг с другом, неверно. Однако две такие операции безусловно коммутируют, если они действуют на совершенно различные индексы. К примеру, мы можем образовывать однозначно определенные выражения типа Но запись типа недопустима, поскольку в этом случае было бы не ясно, какая из операций должна применяться вначале — симметризация или антисимметризация. Аналогичное утверждение, конечно же, справедливо и для верхних индексов. Как и в формуле (3.3.5), операции симметризации и антисимметризации к верхним и нижним индексам применяются независимо, например:

Нам представляется также возможность применять операции симметризации и антисимметризации к собирательным индексам, например:

Указанное замечание распространяется, однако, лишь на те индексы в скобках, которые имеют одинаковую валентность. Совпадение валентностей символически может изображаться посредством использования для индексов одних и тех же опорных букв. Если, к примеру, то (3.3.12) записывается следующим образом:

Говорят, что некоторый тензор (или спинор) является [анти] симметричным по группе (возможно, собирательных) индексов, если он не изменяется в результате применения к указанным индексам операции [анти] симметризации. Таким образом, если

то мы говорим, что тензор и тензор соответственно, симметричен и антисимметричен по . Заметим, что в соответствии с приведенным выше замечанием результат произвольной [анти] симметризации автоматически [анти] симметричен. Например, тензор симметричен по и антисимметричен по Р, V. Некоторый тензор является симметричным по группе индексов в том и только в том случае, если он не изменяется при перемене местами индексов из любой пары данной группы. Аналогично, тензор является антисимметричным по некоторой группе индексов в том и только в том случае, если он меняет свой знак при перемене местами индексов из любой пары данной группы.

Укажем удобное обозначение для подпространства состоящего из элементов с определенным типом симметрии. Мы будем применять по отношению к самому символу то же самое соглашение о круглых и квадратных скобках, которое порождало желаемую симметрию в применении к элементам . В частности, пространства симметричных и антисимметричных элементов из обозначаются, соответственно, символами . К примеру, мы имеем:

Если некоторый тензор [анти] симметричен по двум частично перекрывающимся группам индексов, то он [анти] симметричен и по объединению этих двух групп индексов. Таким образом,

(см. скан)

Это следует из того, что всякая перестановка может быть представлена как произведение перестановок одних лишь соседних

индексов. Кроме того, если тензор симметричен по некоторой группе индексов, частично перекрывающейся с другой группой индексов, по которой он антисимметричен, то такой тензор равен нулю. Чтобы убедиться в справедливости последнего утверждения, достаточно рассмотреть тензор симметричный по и кососимметричный по Имеем:

Таким образом, данный тензор равен самому себе со знаком минус, а поэтому должен быть равен нулю.

Если [анти] симметричная группа индексов некоторого тензора свёртывается с другой группой индексов, то вторая группа индексов может быть [анти] симметризована, и при этом результат нашего свертывания не изменится:

Приведенные результаты несложно доказать путем развертывания одной из [анти] симметризаций в среднем члене в соответствии с (3.3.1) — (3.3.4) с последующим переобозначением немых индексов. Вызывая [анти] симметрию оставшихся индексов, мы можем сделать все члены этой суммы одинаковыми. Для группы из индексов существует членов, что компенсируется наличием в знаменателе в формулах (3.3.1) — (3.3.4). Одним из следствий только что описанного результата является что пара симметричных индексов, свернутая с парой антисимметричных индексов, приводит в итоге к выражению, равному нулю. Итак,

Заметим, что для произвольного тензор симметричен по . Следовательно,

Отсюда вытекает, что имеет место «достаточная» часть следующего предложения:

Предложение

Чтобы продемонстрировать справедливость «необходимой» части, положим

Полагая, что число индексов равно получаем

Если левая часть равна нулю при всех то каждый коэффициент при в правой части должен обращаться в нуль. (Для доказательства данного утверждения достаточно тех условий, которые наложены нами на кольцо а именно, что содержит подкольцо, изоморфное кольцу рациональных чисел. Действительно, если по очереди выбивать , то мы получим, что в правой части линейно-независимых комбинаций коэффициентов равны нулю. Рассматривая рациональные линейные комбинации, мы заключим, что каждый коэффициент в отдельности должен быть равен нулю.) В частности, должно быть равно нулю выражение . Поскольку оно равно нулю для всех то . Так как последнее выражение должно быть равно нулю при всех мы можем повторить приведенные выше рассуждения и получить, наконец, что и требуется. Ясно, что (3.3.22) будет справедливо также и в том случае, если заменить собирательными индексами одной и той же валентности.

Из (3.3.22) следует также, что

поскольку разница между двумя такими функциями равна нулю в том и только в том случае, если разность между соответствующими симметричными тензорами равна нулю.