Универсальные накрывающие пространства

Важное значение имеет понятие универсального накрывающего пространства Т для связного (но не обязательно односвязного) топологического пространства Т. Выберем базовую точку

О в Г и рассмотрим пути в Г из точки О в некоторую другую точку X. Могут быть несколько различных классов путей из О в X, которые обладают следующим свойством: всякий путь одного класса может быть непрерывным образом деформирован в любой другой путь того же самого класса, но не может быть непрерывной деформацией переведен ни в какой путь другого класса. Чтобы построить пространство Т, мы как бы приписываем точке X столько разных «индивидуальностей», сколько имеется упомянутых выше различных классов. Точнее говоря, элементами пространства Т являются эти различные классы, связанные с точкой X, когда она пробегает все пространство Т при фиксированной точке О. Свойства непрерывности пространства Т определяются очевидным путем на основе свойств непрерывности пространства Т. Нетрудно видеть, что Т односвязно

и —как топологическое пространство — совершенно не зависит от выбора точки О. Если пространство Т односвязно, то Т идентично пространству Т.

К примеру, возьмем в качестве Т окружность, точки которой обычным образом помечены координатой 0 с модулем периодичности Неэквивалентные пути из точки О (базовая точка) в точку 0 различаются числом обходов окружности. Очевидно, что пространство Т параметризовано координатой 0 без эквивалентного модуля т. е. с топологической точки зрения Т представляет собой действительную линию. Подобным же образом, если Т — бесконечный цилиндр, параметризованный координатами и 0 с модулем то Т представляет собой полную плоскость, параметризованную координатой и неограниченным углом Следовательно, переходя от Т к Т, мы максимально «развертываем» пространство Т, и точно так же мы можем рассматривать ситуацию в общем случае.

Рассмотрим, в частности, пространство Для каждой точки этого пространства имеются два и только два класса, так что универсальное накрывающее пространство представляет собой двукратный разворот пространства Конкретная реализация пространства уже по существу была получена нами в § 2, а именно пространство состоящее из унимодулярных унитарных матриц размерности Соответствие, упомянутое в предложении (1.2.29), устанавливает как раз требуемое соотношение типа между пространствами Точно так же предложение (1.2.27) устанавливает соотношение между ограниченной группой Лоренца и ее (двукратным) универсальным накрывающим пространством , состоящим из спин-матриц. То обстоятельство, что топология пространства не сложнее топологии пространства вытекает из одного свойства ограниченных преобразований Лоренца, установленного в § 3: всякое такое преобразование можно однозначно представить в виде произведения вращения и буста. Топология буста «тривиальна» (она представляет собой топологию евклидова пространства длины которого в соответствующих направлениях являются отображениями параметров быстроты), так что топологические, свойства пространства по существу те же самые (за исключением размерности), что и топологические свойства

Рис. 1.14. Соотношение 1—2 между ограниченной группой Лоренца и пространством .

Соотношение типа 1—2 между и изображено на рис. 1.14.

пространства . Рассмотрим теперь какую-либо геометрическую структуру (например, твердое тело, флаг и в евклидовом 3-пространстве пространстве-времени или векторном пространстве Минковского V. Обозначим через пространство ориентаций рассматриваемой структуры. Мы уже показали, как построить «спинорный» аналог для при условии, что пространство обладает двукратным универсальным накрывающим пространством Ф и что два разных образа одного элемента меняются местами в результате применения к непрерывного вращения на . К примеру, если — ориентации твердого (асимметричного) тела в то обладает топологией пространства и мы видим, что пространство имеет требуемые свойства. В общем случае элементы пространства Ф могут быть изображены в виде обычных геометрических структур в пространстве (-времени), с тем лишь отличием, что вращение на вокруг любой оси (или произвольное другое движение, непрерывно переводимое в данное) будет переводить нашу структуру в несколько иную структуру, а для возвращения этой структуры в ее исходное положение требуется еще одно вращение на угол . Элементы пространства будут тогда спинорными объектами. Они представляют собой требуемые спинорные аналоги исходных ориентаций