Спинорная структура

Прежде чем приняться за подробное обсуждение основных операций над спин-векторами, кратко остановимся на том, каким образом приведенные выше соображения проявляются на глобальной топологии общего искривленного пространственно-временного многообразия Топология, с которой мы имели цело до сих пор, базировалась на локальных рассмотрениях в пространстве-времени. (К примеру, мы рассматривали топологию пространства изотропных флагов в одной пространственно-временной точке.) Вместе с тем некоторые пространственно-временные многообразия сами по себе имеют нетривиальную (т. е. неевклидову) топологию, которая должна рассматриваться вместе с локальными топологическими свойствами. Действительно, возникает вопрос, какие ограничения должны быть наложены на многообразие для того, чтобы оно допускало существование глобально определенных объектов типа спин-векторов.

На данном этапе мы не будем углубляться в точное определение пространственно-временного многообразия; отметим лишь, что его локальная структура задается структурой пространства Минковского (т. е. оно имеет лоренцеву метрику) и оно является обычным (т. е. хаусдорфовым, паракомпактным, связным) 4-многообразием класса (определение этих понятий будет дано в гл. 4).

Рассмотрим пространство каждая точка которого представляет изотропный флаг в точке пространства Такое пространство называется пучком изотропных флагов пространства (рис. 1.15; ср. гл. 5, § 4). Оно представляет собой -мерное пространство, поскольку пространство само по себе четырехмерно, а пространство изотропных флагов в произвольной выбранной точке Р многообразия (ранее обозначавшееся через также четырехмерно. Изотропные флаги в точке Р понимаются как объекты в касательном пространстве (гл. 4) в точке Р, являющемся векторным пространством Минковского.

Рис. 1.15. Пучок изотропных флагов на и его двукратное накрывающее пространство — пучок спин-векторов У.

Таким образом, для самого существования пространства требуются два глобальных ограничения на Во-первых, изотропные флаги связаны только с одним из двух световых полуконусов в касательном пространстве в точке Р, а именно с тем полуконусом, который указывает в будущее. Поэтому необходимо иметь возможность на всем многообразии сделать согласованный непрерывный выбор световых полуконусов. Другими словами,

Многообразие M должно быть ориентируемым во времени.

Во-вторых, для алгебры спин-векторов требуется выбор пространственно-временной ориентации в каждой точке, поскольку умножение на должно приводить к вращению изотропных флагов в определенном направлении. То, что это требует пространственно-временной, а не пространственной ориентации, следует из того обстоятельства, что положительное вращение изотропных флагов наделяет положительной ориентацией сферу , соответственно, отрицательной ориентацией сферу (§ 2, 4. гл. 3, § 2). Следовательно, необходимо иметь возможность на всем многообразии сделать согласованный непрерывный

выбор пространственно-временной ориентации. Таким образом,

Многообразие M должно быть ориентируемым в пространстве и времени. (1.5.2)

Но если мы хотим перейти от понятия изотропного флага к понятию спин-вектора, указанных двух глобальных ограничений на недостаточно. Многообразие должно также допускать возможность определения на нем спиновой структуры, т. е., грубо говоря, предписания, позволяющего проследить за знаком спин-вектора не только в том случае, когда мы поворачиваем его в фиксированной точке многообразия но также в том случае, когда мы перемещаем его от точки к точке в пределах Если многообразие топологически простое, то указанная спиновая структура существует и единственна. Но если топологически нетривиально, то оно может как допускать, так и не допускать согласованную спиновую структуру, причем в случае, когда спиновая структура существует, она может быть единственной или нет. В общем случае оказывается, что [с учетом (1.5.1) и (1.5.2)] условия, обеспечивающие существование и единственность спиновой структуры многообразия зависят только от его топологии и не зависят от вида его (лоренцевой) метрики. Вскоре мы сформулируем [формулы (1.5.4), (1.5.6)] требуемое точное топологическое условие на

В соответствии со сказанным ранее потребуем, чтобы пространство обладало соответствующим двукратным накрывающим пространством которое фактически будет пространством спин-векторов на (В отличие от универсального накрывающего пространства общее накрывающее пространство должно удовлетворять лишь условию связности и должно отображаться на исходное пространство таким образом, чтобы сохранялась локальная топология, а обратное отображение точки представляло собой дискретную последовательность точек.) Пространство должно быть «соответствующим» в смысле редукции к — универсальному накрывающему пространству пространства над произвольной точкой Р многообразия Можно было бы предположить, что универсальное накрывающее пространство для У будет удовлетворять этому условию естественным образом (т. е. но, поскольку полный «разворот» пространства включает также разворот многообразия это условие может и не реализоваться. Более того,

ситуация оказывается еще сложнее. Мы увидим, что фактически возможны два несколько иных препятствия существованию Первое из них не связано с вопросом о том, является или нет многообразие односвязным, а второе возникает только в случае неодносвязного

В самом деле, рассмотрим замкнутые контуры на и их проекции на Проекция из У в отображает всякий флаг в точке Р на точку таким образом, всякое пространство целиком отображается в единственную точку Р (см. рис. 1.15). Произвольный путь в У проектируется на некоторый путь в очевидно, что замкнутый контур в проектируется на замкнутый контур в Всякий путь в соответствует такому движению, которое перемещает изотропный флаг в и которое, наконец, возвращает этот флаг (в случае замкнутого пути) в его исходное состояние. Проекция просто описывает движение базовой точки в

Контур в лежащий полностью в при некотором фиксированном Р, проектируется на «тривиальный» контур (точку Р) в Как мы уже видели раньше, существуют два и только два класса (I и II) замкнутых контуров в Препятствие первого которое может возникать в случае нетривиальной топологии многообразия связано с тем, что указанные два класса могут слиться в один, представляющий собой класс I несжимаемых контуров в произвольном который после деформирования в пределах может вернуться в как класс II сжимаемых контуров. В таком случае спин-векторы на не могли бы существовать. Действительно, предположим, что они существуют, и рассмотрим контур класса I на заданном пространстве задаваемый просто вращением полотнища флага для некоторого заданного изотропного флага на угол которое таким образом переводит соответствующий спин-вектор а в Всякий замкнутый контур в в который может быть непрерывно преобразован контур непрерывным образом переводит ненулевой спин-вектор в ему противоположный. Но если А, может быть непрерывным образом превращен в единственную точку на то соответствующий спин-вектор должен быть равен своему противоположному. Следовательно, многообразие не допускает введения спин-вектора.

Предположим теперь, что препятствие первого типа отсутствует. Тогда в случае многообразия содержащего несжимаемый контур в случае неодносвязного может возникнуть препятствие второго типа. Если изотропный флаг, перемещаемый по контуру возвращается в свое исходное положение Р, то соответствующий спин-вектор х должен вернуться либо к своему исходному значению, либо к Таким образом, мы должны выбрать одну из этих двух возможностей. Если

контур у таков, что никакой кратный контур ту (т. е. у, пройденный раз) не сжимается в одну точку, то равным образом может реализоваться каждая из упомянутых возможностей, но они приводят к разным спиновым структурам на (предполагается, что спиновая структура не исключается другими контурами). В этом случае две альтернативы будут входить в определение спин-вектора. Выбором, сделанным для некоторого у, определяется выбор для всех контуров в которые могут быть спроектированы на или деформированы в у на М.

Предположим далее, что контур у таков, что некоторый нечетный кратный контур ту может быть сжат в точку на Тогда для любого контура А, в проектирующегося на у, контур тк деформируем на в контур на одном в соответствии с деформацией контура ту на в точку Р. Если этот последний контур на принадлежит классу I, то по непрерывности спин-вектор взятый вблизи должен переходить в если классу II — то спин-вектор х должен переходить в х. Поскольку нечетно, этим условием фиксируется X как переводящее или х соответственно, без неопределенности.

Наконец, может оказаться, что в то время как все нечетные кратные контуры у несжимаемы, некоторые (наименьшие) четные кратные контуры могут быть сжаты в точку. Тогда должно быть одно из двух. Либо все соответствующие контуры на при деформации контура в точку Р на переходят в контуры класса II на либо некоторые из них (и тогда фактически все) переходят в контуры класса 1. В первом случае, по непрерывности, спин-вектор х при перемещении по должен переходить в самого себя. Следовательно, приемлема каждая из двух возможностей для однократного прохождения контура и мы приходим, как и раньше, к двум возможным спиновым структурам на (если только спиновая структура не исключается другими контурами). Предположим, однако, что контур переходит в контур класса I на откуда следует требование по контуру Тогда ни одна из двух возможностей вблизи X не приемлема, и в этом состоит препятствие второго типа для того, чтобы допускало спиновую структуру. В отличие от препятствия первого типа, препятствие второго типа может возникать лишь тогда, когда неодносвязно, и (также в отличие от первого типа) оно, очевидно, пропадает, если мы переходим к универсальному накрывающему пространству

Можно построить примеры моделей пространства-времени [140, с. 155; 76, 77, 92], в которых возникает одно или другое из упомянутых выше препятствий, но которые тем не менее удовлетворяют условиям (1.5.1) и (1.5.2) и не кажутся физически бессмысленными по каким-либо другим своим признакам.

Фактически мы имеем здесь дело с проявлением более общего положения, справедливого для многообразий произвольной размерности. Существует топологический инвариант, называемый вторым классом Штиффеля — Уитни, равенство которого нулю в случае ориентируемого многообразия является необходимым и достаточным условием для утверждения

Многообразие M имеет спиновую структуру, (1.5.3)

т. е. для существования общих (но все же двузначно определенных) спинорных объектов на [114, 109, 115]. Условие может быть строго сформулировано следующим образом:

Условие

На произвольной замкнутой 2-поверхности 9° многообразия (размерности ) существует система непрерывных полей касательных векторов к линейно независимых в каждой точке 2-поверхности 9°. Если многообразие ориентируемо (что фактически выражается условием то мы можем заменить число числом

Мы покажем, что если условие (1.5.4) выполняется для пространственно-временного многообразия удовлетворяющего условиям (1.5.1) и (1.5.2) (т. е. когда ), то не может существовать ни одного из упомянутых выше препятствий.

Рассмотрим предварительно группу вращений (представляющую собой компоненту группы вращений в четырехмерном евклидовом пространстве, связанную с тождественным преобразованием) и покажем, что подобно случаю замкнутые пути в распадаются на два класса I и II (несжимаемые и сжимаемые), такие, что двойной путь класса I есть путь класса II [т. е. ]. (Фактически то же самое справедливо для при всех но этот более общий результат нам здесь не потребуется.) Вспомним кватернионы из § 2 и заметим, что любой элемент группы можно получить как результат действия на единичный кватернион

где — фиксированные единичные кватернионы. [Это следует из того, что есть 4-мерная евклидова норма, а при указанном действии получается полная размерность группы , равная 6.] Мы имеем неоднозначность

Рис. 1.16. Отображение на изотропного конуса будущего и изотропного флага непрерывным образом дает однозначно определенную систему которая является правой и ортонормированной относительно евклидовой метрики пространства

но если ее не принимать в расчет, то пара однозначно определяется элементом группы представляемым ею.

Далее, предположим, что для 4-мерного пространственно-временного многообразия М выполнены условие (1.5.4) и условия ориентируемости (1.5.1), (1.5.2). Представим себе, что касательное пространство в каждой точке Р замкнутой -поверхности в линейно отображается на таким образом, что четыре линейно независимых вектора в точке Р при условии (1.5.4) отображаются, соответственно, в четыре координатных базисных вектора в [иными словами, мы рассматриваем четыре векторных поля, фигурирующие в условии (1.5.4) как координатные оси в каждой точке поверхности 9]. Световой конус будущего в точке Р будет отображаться на полуконус (рис. 1.16). Одна из главных полуосей полуконуса (с точки зрения обычной евклидовой геометрии пространства будет изображением А в направленного в будущее времениподобного вектора в (а именно ось, лежащая внутри При перемещении точки Р по вектор движется непрерывно с Р. Рассмотрим теперь изотропный флаг в точке Р. Его образом в будет «флаг», флагшток которого указывает направление образующей полуконуса а полотнище является касательным к Пусть В — проекция этого флагштока,

ортотональная оси А (относительно евклидовой метрики пространства Проекция полотнища флага, ортогональная оси А, содержит только одно направление С, перпендикулярное вектору В (и А). Выберем вектор таким образом, чтобы он дополнял векторы А, В и С до правой тетрады, и, наконец, нормируем все векторы А, В, С, D так, чтобы они были единичными (в метрике пространства Таким образом, мы непрерывным путем приписали каждому изотропному флагу в произвольной точке поверхности т. е. каждой точке пространства над 9 ортонормированную правую систему отсчета Заметим, что достигнутое соответствие обладает следующим свойством: если изотропный флаг описывает путь класса I [или III с фиксированной точкой Р, то соответствующая система выполняет непрерывное вращение в класса I [или II]. (Нужно рассмотреть вращение полотнища флага на угол а затем сделать заключение по непрерывности.)

Проанализируем теперь два типа возможных препятствий существованию спиноров в пространственно-временном многообразии ориентируемом в пространстве и времени. В случае сливающихся классов I и II, когда контур X в соответствующий вращению на деформируется на одну точку, его проекция на образует замкнутую поверхность к которой может быть применено условие (1.5.4). Если на 9 существуют упоминаемые в (1.5.4) системы векторов, то мы можем непрерывно описать ориентацию нашего флага, пользуясь системой в как указано выше. Всякое положение контура в соответствует тогда непрерывному движению системы в исходное — вращению на а конечное (непрерывное с исходным) — отсутствию вращения, что невозможно. Таким образом, если для выполняется условие (1.5.4), то контур X в не может быть стянут в точку в так что препятствие данного типа не может возникнуть.

Подобными же рассуждениями исключается вторая возможная причина отсутствия спиновой структуры — несогласованность переноса флага после оборотов по контуру у, т. е. двух оборотов по контуру По предположению, контур должен быть сжимаем в одну точку Р на . В процессе такого сжатия он образует замкнутую поверхность в «приваренную» к одному контуру Мы можем применить к этой поверхности условие (1.5.4) и, как и раньше, воспользоваться системой в для отображения флагов, перемещаемых по контуру на разных стадиях деформации его в точку. Рассматриваемое препятствие теперь возникает в том случае, если контур в где проектируется на деформируем в контур класса I в Однако флаг, перемещаемый по контуру в представляется двойным движением системы ,

следовательио, контуром класса II в Если бы конечный контур в приналежал классу I, то исходный контур в класса II был бы непрерывно деформируем в путь класса I в , что невозможно, и, таким образом, это препятствие также не может возникнуть.

В случае когда имеются все три свойства (1.5.1) — (1.5.3), мы будем пользоваться более определенным термином спинорная структура (вместо общего термина спиновая структура). Таким образом, если имеет спинорную структуру, то на существует спинорная система (основанная на изотропных флагах и спин-векторах), о которой говорится в данной книге. Другими словами, существует определенное выше пространства Если многообразие односвязно, то бдет фактически пространством (В каждом пространстве путь между двумя точками, представляющими единственную точку в соответствует, как мы видели, вращению на это гарантирует выполнение того же свойства и для

Но даже если многообразие обладает спинорной структурой, указанная структура в общем случае неоднозначна, если неодносвязно. В этом случае (Действительно, пространство должно «развертывать» каждый контур класса I в каждом и больше никаких других контуров; пространство же развертывало бы также контуры, отвечающие несжимаемым контурам на .) Фактически тогда существует 2 различных спинорных структур, где — число «независимых» контуров в никакой нечетный кратный из которых не может быть сжат в точку.