Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Уравнения Максвелла — Дирака

В заключение кратко остановимся на теории системы полей Максвелла и Дирака в рамках развиваемого подхода. Уравнения полей в лоренцевой калибровке имеют вид — действительные постоянные, причем можно выбрать нормировку так, что см. текст после формулы (5.10.16)]

Как и раньше, мы заменяем эту конечную точную систему полей бесконечной, для которой далее решение находится путем последовательного применения формулы (5.12.6). При этом мы не

отделяем от а рассматриваем «комплексифицированный» вариант соотношения (5.12.99), заменяя независимой величиной с тем чтобы это соотношение оставалось справедливым во всех порядках. [Необходимость такой комплексификации связана с тем, что в высших порядках правая часть равенства (5.12.98) перестает быть действительной, см. формулу (5.12.112) ниже.] Таким образом, мы будем иметь триплеты связанные на каждом шаге комплексифицированным вариантом соотношений (5.12.99).

Связь потенциалов всех порядков с полями фиксируется требованием равенства нулю всех изотропных данных

В «нулевом приближении» имеем поля причем удовлетворяющие уравнениям свободных безмассовых полей

и действительный потенциал удовлетворяющий уравнению

потенциал «нулевого порядка» действителен, как мы увидим далее, для потенциалов «высших порядков», это свойство сохранить не удается.) Решения уравнений (5.12.101), соответствующие заданным изотропным данным, определяются, как и ранее, формулой (5.12.6), и чтобы перейти к следующему шагу, удобно снова представить эти поля в виде линейных суперпозиций -образных вкладов, привязанных к точкам на световом конусе будущего точки О. Для имеем вклад

в точке по аналогии с (5.12.93)], относящийся к точке Для соответствующего вклада в потенциал подчиняющийся уравнению (5.12.102). получим решение

(с нулевым начальным значением на

Рис. 5.13. К соотношениям (5.12.107) в (5.12.108). (Рассеяние дираковского поля полем Максвелла; а — сдвиг фазы, б - рассеяние.)

В противоположность случаю свободного поля Дирака, который мы рассматривали выше, поля «высших порядков» в случае системы Максвелла - Дирака не возникают в виде линейной последовательности, и их следовало бы нумеровать тройными, а не целочисленными индексами. Но поскольку мы хотим здесь лишь привести общие построения, не разрабатывая их детально, мы не будем прибегать к такой индексации. Поэтому числа над полевыми символами будут указывать лишь, в какой очередности мы рассматриваем эти поля.

На следующем шаге вместо (5.12.100) будем иметь уравнения

а также

Мы уже видели, как следует обращаться с уравнениями (5.12.105). Далее, чтобы решить первое из уравнений (5.12.106), выразим через -образные вклады вида (5.12.103), а — через вклады вида

где приняты обозначения, указанные на рис. 5.13, и (При этом мы не требуем, чтобы точка лежала на поэтому решения остаются справедливыми и в том случае, когда заменяется величинами более высокого порядка.) Свертывая должным образом (5.12.104) и (5.12.107), получаем правую

часть первого равенства (5.12.106). Решение этого уравнения дает в виде

Первое слагаемое в выражении (5.12.108) есть «сдвиг фазы» поля, распространяющегося из точки при прохождении области действия потенциала, создаваемого в оно соответствует рис. 5.13, а; второе слагаемое описывает истинное рассеяние (рис. Мы получаем изотропное значение амплитуды рассеяния на начальной гиперповерхности, состоящей из частей световых конусов с вершинами в точках которые лежат в будущем от их пересечения. Фактически изотропное значение на данной части конуса равно нулю, а поэтому вклад в поле в точке Р в виде интеграла (5.12.6) дает соответствующее значение на конусе Конфигурации, которые нужно проинтегрировать, показаны на рис. 5.13, б. Вычисления довольно просты, но мы здесь их опустим.

Необходимо также исследовать уравнения, следующие из соотношения (5.12.98). Они имеют вид

Рассмотрим первое из них, считая поля состоящими из -образных вкладов, отвечающих точкам соответственно, не обязательно лежащим на Тогда найдем источник в первом из уравнений (5.12.109) в виде выражения

умноженного на соответствующие изотропные значения Положив

где — спиноры, флаги которых показаны на рис. 5.14, найдем решение соответствующее источнику (5.12.110), в виде

Это представление доказывает, что поле в точке Р возникает из вкладов, ассоциируемых с конфигурациями, показанными на рис. 5.14.

Рис. 5.14. К соотношениям (5.12.110) и (5.12.112). (Поле Максвелла, создаваемое дираковским током.)

Поскольку выражение (5.12.110) не является действительным, поле будет равно, соответственно,

Вместо соотношений (5.12.99) мы имеем равенства

правые части которых даются формулами (5.12.112) и (5.12.113), соответственно. Отсюда для находим выражение

Принятые здесь обозначения те же, что и раньше, а именно

(рис. 5.15), причем шесть точек а также точка Р (в которой вычисляется лотенциал) лежат в одной 2-плоскости.

При проверке того, что выражения (5.12.115), (5.12.112) и (5.12.113) вместе удовлетворяют уравнениям (5.12.114) [а также того, что выражения (5.12.110), (5.12.112) и (5.12.113) вместе удовлетворяют первому из уравнений (5.12.109)], нужно учесть, что если смещать точку Р, не меняя положения точек (и спиноров то вектор остается постоянным, а векторы отличаются от радиус-вектора точки Р численным коэффициентом. Необходимые соотношения получаются путем использования явных

Рис. 5.15. К соотношениям (5.12.115) и (5.12.117). (Максвелловский потенциал, создаваемый дираковским током.)

выражений (5.12.116) и (5.12.117) и дифференцирования. В частности, находим, что выражения

остаются постоянными. Потенциал (5.12.115) в области, где поля свободны (т. е. общей области будущего световых конусов в точках ), оказывается градиентом комплексного скаляра

Наконец, необходимо выяснить, как потенциал (5.12.115) влияет на рассеяние двух составляющих дираковского поля. Для этого будем действовать так же, как и в случае потенциала (5.12.104). Чтобы найти подставим в первое равенство (5.12.106) выражение, подобное (5.12.108), с заменой на скажем, на при этом два слагаемых будут содержать тройные произведения соответственно. Правая часть дается выражением вида (5.12.115) (с заданными ), свернутым с выражением вида (5.12.107) (с заменой на ), и представляет собой поле в предшествующем порядке, испущенное в точке Как и прежде, первый член дает лишь «сдвиг фазы» и представляется диаграммой типа рис. 5.16, а (или такой же диаграммой с переставленными Рассеяние описывается вторым членом и изображается диаграммой рис. (или той же диаграммой с переставленными ).

Чтобы найти полное поле Максвелла — Дирака, нужно сложить бесконечное число членов, каждый из которых представляет собой интеграл по конечномерному компактному пространству

Рис. 5.16. Геометрия рассеяния поля Дирака дираковским током через посредство максвелловского потенциала; а — сдвиг фазы, б - рассеяние.

ветвящихся изотропных «зигзагов», начинающихся в точках на где заданы изотропные данные, и оканчивающихся в точке Р, которое получается при надлежащем комбинировании рассмотренных выше конфигураций. Каждый интеграл обязательно конечен, однако сложность членов возрастает с ростом порядка. Мы не рассматриваем здесь ни детали построения таких выражений, ни вопрос о сходимости ряда. Эти проблемы требуют дальнейшего исследования.

Одной из тем, которым посвящен т. 2, будет техника теории твисторов. Мы увидим, в частности, что твисторы дают прямое и изящное представление изотропных путей в М, и перевод изложенного здесь формализма на язык твисторов кажется нам интересным, а возможно и имеющим более глубокий смысл, упражнением. Было бы интересным также развить нашу теорию далее (с использованием твисторов или без них) до полной формулировки квантовой электродинамики (см., например, [16]).

Диаграммы, возникающие в нашем подходе, во многих отношениях аналогичны диаграммам Фейнмана. Однако необычным является то, что здесь мы имеем дело лишь с изотропными пространственно-временными интервалами даже в случае массивных полей. Тот взгляд, что изотропные интервалы играют более фундаментальную роль, нежели пространственноподобные или времениподобные, хорошо вяжется с общей мыслью, на которой мы прямо или косвенно делаем упор в своей книге, что 2-спиноры — более фундаментальные объекты при описании структуры пространства-времени, нежели векторы и тензоры.

1
Оглавление
email@scask.ru