Уравнения Максвелла — Дирака

В заключение кратко остановимся на теории системы полей Максвелла и Дирака в рамках развиваемого подхода. Уравнения полей в лоренцевой калибровке имеют вид — действительные постоянные, причем можно выбрать нормировку так, что см. текст после формулы (5.10.16)]

Как и раньше, мы заменяем эту конечную точную систему полей бесконечной, для которой далее решение находится путем последовательного применения формулы (5.12.6). При этом мы не

отделяем от а рассматриваем «комплексифицированный» вариант соотношения (5.12.99), заменяя независимой величиной с тем чтобы это соотношение оставалось справедливым во всех порядках. [Необходимость такой комплексификации связана с тем, что в высших порядках правая часть равенства (5.12.98) перестает быть действительной, см. формулу (5.12.112) ниже.] Таким образом, мы будем иметь триплеты связанные на каждом шаге комплексифицированным вариантом соотношений (5.12.99).

Связь потенциалов всех порядков с полями фиксируется требованием равенства нулю всех изотропных данных

В «нулевом приближении» имеем поля причем удовлетворяющие уравнениям свободных безмассовых полей

и действительный потенциал удовлетворяющий уравнению

потенциал «нулевого порядка» действителен, как мы увидим далее, для потенциалов «высших порядков», это свойство сохранить не удается.) Решения уравнений (5.12.101), соответствующие заданным изотропным данным, определяются, как и ранее, формулой (5.12.6), и чтобы перейти к следующему шагу, удобно снова представить эти поля в виде линейных суперпозиций -образных вкладов, привязанных к точкам на световом конусе будущего точки О. Для имеем вклад

в точке по аналогии с (5.12.93)], относящийся к точке Для соответствующего вклада в потенциал подчиняющийся уравнению (5.12.102). получим решение

(с нулевым начальным значением на

Рис. 5.13. К соотношениям (5.12.107) в (5.12.108). (Рассеяние дираковского поля полем Максвелла; а — сдвиг фазы, б - рассеяние.)

В противоположность случаю свободного поля Дирака, который мы рассматривали выше, поля «высших порядков» в случае системы Максвелла - Дирака не возникают в виде линейной последовательности, и их следовало бы нумеровать тройными, а не целочисленными индексами. Но поскольку мы хотим здесь лишь привести общие построения, не разрабатывая их детально, мы не будем прибегать к такой индексации. Поэтому числа над полевыми символами будут указывать лишь, в какой очередности мы рассматриваем эти поля.

На следующем шаге вместо (5.12.100) будем иметь уравнения

а также

Мы уже видели, как следует обращаться с уравнениями (5.12.105). Далее, чтобы решить первое из уравнений (5.12.106), выразим через -образные вклады вида (5.12.103), а — через вклады вида

где приняты обозначения, указанные на рис. 5.13, и (При этом мы не требуем, чтобы точка лежала на поэтому решения остаются справедливыми и в том случае, когда заменяется величинами более высокого порядка.) Свертывая должным образом (5.12.104) и (5.12.107), получаем правую

часть первого равенства (5.12.106). Решение этого уравнения дает в виде

Первое слагаемое в выражении (5.12.108) есть «сдвиг фазы» поля, распространяющегося из точки при прохождении области действия потенциала, создаваемого в оно соответствует рис. 5.13, а; второе слагаемое описывает истинное рассеяние (рис. Мы получаем изотропное значение амплитуды рассеяния на начальной гиперповерхности, состоящей из частей световых конусов с вершинами в точках которые лежат в будущем от их пересечения. Фактически изотропное значение на данной части конуса равно нулю, а поэтому вклад в поле в точке Р в виде интеграла (5.12.6) дает соответствующее значение на конусе Конфигурации, которые нужно проинтегрировать, показаны на рис. 5.13, б. Вычисления довольно просты, но мы здесь их опустим.

Необходимо также исследовать уравнения, следующие из соотношения (5.12.98). Они имеют вид

Рассмотрим первое из них, считая поля состоящими из -образных вкладов, отвечающих точкам соответственно, не обязательно лежащим на Тогда найдем источник в первом из уравнений (5.12.109) в виде выражения

умноженного на соответствующие изотропные значения Положив

где — спиноры, флаги которых показаны на рис. 5.14, найдем решение соответствующее источнику (5.12.110), в виде

Это представление доказывает, что поле в точке Р возникает из вкладов, ассоциируемых с конфигурациями, показанными на рис. 5.14.

Рис. 5.14. К соотношениям (5.12.110) и (5.12.112). (Поле Максвелла, создаваемое дираковским током.)

Поскольку выражение (5.12.110) не является действительным, поле будет равно, соответственно,

Вместо соотношений (5.12.99) мы имеем равенства

правые части которых даются формулами (5.12.112) и (5.12.113), соответственно. Отсюда для находим выражение

Принятые здесь обозначения те же, что и раньше, а именно

(рис. 5.15), причем шесть точек а также точка Р (в которой вычисляется лотенциал) лежат в одной 2-плоскости.

При проверке того, что выражения (5.12.115), (5.12.112) и (5.12.113) вместе удовлетворяют уравнениям (5.12.114) [а также того, что выражения (5.12.110), (5.12.112) и (5.12.113) вместе удовлетворяют первому из уравнений (5.12.109)], нужно учесть, что если смещать точку Р, не меняя положения точек (и спиноров то вектор остается постоянным, а векторы отличаются от радиус-вектора точки Р численным коэффициентом. Необходимые соотношения получаются путем использования явных

Рис. 5.15. К соотношениям (5.12.115) и (5.12.117). (Максвелловский потенциал, создаваемый дираковским током.)

выражений (5.12.116) и (5.12.117) и дифференцирования. В частности, находим, что выражения

остаются постоянными. Потенциал (5.12.115) в области, где поля свободны (т. е. общей области будущего световых конусов в точках ), оказывается градиентом комплексного скаляра

Наконец, необходимо выяснить, как потенциал (5.12.115) влияет на рассеяние двух составляющих дираковского поля. Для этого будем действовать так же, как и в случае потенциала (5.12.104). Чтобы найти подставим в первое равенство (5.12.106) выражение, подобное (5.12.108), с заменой на скажем, на при этом два слагаемых будут содержать тройные произведения соответственно. Правая часть дается выражением вида (5.12.115) (с заданными ), свернутым с выражением вида (5.12.107) (с заменой на ), и представляет собой поле в предшествующем порядке, испущенное в точке Как и прежде, первый член дает лишь «сдвиг фазы» и представляется диаграммой типа рис. 5.16, а (или такой же диаграммой с переставленными Рассеяние описывается вторым членом и изображается диаграммой рис. (или той же диаграммой с переставленными ).

Чтобы найти полное поле Максвелла — Дирака, нужно сложить бесконечное число членов, каждый из которых представляет собой интеграл по конечномерному компактному пространству

Рис. 5.16. Геометрия рассеяния поля Дирака дираковским током через посредство максвелловского потенциала; а — сдвиг фазы, б - рассеяние.

ветвящихся изотропных «зигзагов», начинающихся в точках на где заданы изотропные данные, и оканчивающихся в точке Р, которое получается при надлежащем комбинировании рассмотренных выше конфигураций. Каждый интеграл обязательно конечен, однако сложность членов возрастает с ростом порядка. Мы не рассматриваем здесь ни детали построения таких выражений, ни вопрос о сходимости ряда. Эти проблемы требуют дальнейшего исследования.

Одной из тем, которым посвящен т. 2, будет техника теории твисторов. Мы увидим, в частности, что твисторы дают прямое и изящное представление изотропных путей в М, и перевод изложенного здесь формализма на язык твисторов кажется нам интересным, а возможно и имеющим более глубокий смысл, упражнением. Было бы интересным также развить нашу теорию далее (с использованием твисторов или без них) до полной формулировки квантовой электродинамики (см., например, [16]).

Диаграммы, возникающие в нашем подходе, во многих отношениях аналогичны диаграммам Фейнмана. Однако необычным является то, что здесь мы имеем дело лишь с изотропными пространственно-временными интервалами даже в случае массивных полей. Тот взгляд, что изотропные интервалы играют более фундаментальную роль, нежели пространственноподобные или времениподобные, хорошо вяжется с общей мыслью, на которой мы прямо или косвенно делаем упор в своей книге, что 2-спиноры — более фундаментальные объекты при описании структуры пространства-времени, нежели векторы и тензоры.