Классическая тензорная алгебра

Попытаемся мотивировать наш подход, припоминая основные операции классической тензорной алгебры, имеющей дело с упорядоченными наборами

где каждый индекс принимает значения (рассматривается пространство размерности Для определенности можно представить, что (2.1.1) — это

упорядоченный набор действительных (или комплексных) чисел. Или же это мог бы быть, скажем, набор функций переменных. Однако, как будет следовать из дальнейшего, набор (2.1.1) представляет собой не сам тензор, а лишь множество тензорных компонент. Более того, в общем случае для тензоров вовсе не обязателен именно такой способ глобального описания.

Допустимы следующие операции. Пусть даны два таких набора которых одинаковое число верхних индексов и одинаковое число нижних. Тогда можно сложить соответствующие элементы, в результате чего получится сумма:

Пусть даны два набора и без каких-либо ограничений на число индексов. Тогда каждый элемент одного набора можно умножить на каждый отдельный элемент другого, в результате чего получится (тензорное) произведение:

Пусть дан любой набор которого имеется как минимум один верхний и как минимум один нижний индекс. Тогда можно образовать свертку:

В этой формуле для повторяющегося символа имеет место правило суммирования, согласно которому каждый элемент получающегося набора является суммой членов исходного набора. И наконец, пусть дан упорядоченный набор верхними и нижними индексами. Тогда в результате всевозможных перестановок и переименований как верхних, так и нижних индексов можно получить (вообще говоря) различных упорядоченных наборов. Из заданного упорядоченного набора можно получить, например, такие:

Элементы этих наборов, конечно же, совершенно те же самые, что и элементы исходного, но упорядочены они иным образом.

В чем же заключается особое значение именно этих четырех операций? Ответ состоит в том, что они коммутируют с законом преобразования компонент тензора. Так, если проанализировать замену всякого упорядоченного набора новым в соответствии со схемой

(правило суммирования!), где матрицы и состоят из элементов того же типа, что и набор (2.1.1) (т. е. являются

действительными числами) и каждая из этих матриц обратна другой:

то можно показать, что любое из соотношений (2.1.2) — (2.1.5) остается неизменным.

В частном случае упорядоченного набора только с одним верхним индексом можно считать замену (2.1.6)

переопределением компонент вектора V при изменении базиса. Точно так же можно считать замену (2.1.6) переопределением компонент тензора при изменении базиса, приводящем к (2.1.8). Но каков истинный смысл этого абстрактного объекта, который мы назвали «тензором»? Существует несколько различных способов определения тензора. Они выявятся по мере нашего продвижения вперед. Но в данном контексте, раз уж у нас есть представление о том, что такое вектор V, можно дать следующее наиболее прямое определение тензора тензор А — это правило, которое позволяет всякому выбору базиса рассматриваемого пространства векторов поставить, в соответствие набор компонент (2.1.1). Причем это правило таково, что всякий раз, когда один базис заменяется другим, получающийся набор компонент заменяется новым набором с соответствии со схемой (2.1.6); здесь определяется из (2.1.7), а матрица такова, что (2.1.8) дает изменение компонент вектора при изменении данного базиса. Непротиворечивость этого определения следует из групповых свойств матриц Так, если — трансформационные матрицы, соответствующие в указанном порядке замене первого базиса вторым, замене второго базиса третьим, и, наконец, замене первого базиса третьим, то имеет место соотношение Если и П — соответствующие обратные матрицы, то Это гарантирует, что при изменении базиса, проведенном в два этапа, получающийся набор компонент будет таким же, как в случае замены базиса, проведенной сразу. Раз закон преобразования компонент тензора коммутирует с операциями сложения, умножения, свертки

и перестановки индексов в применении к упорядоченным наборам, то эти операции применимы не только к компонентам тензора, но и к нему самому.

Говорят, что тензор А имеет валентность если в (2.1.1) есть верхних индексов и нижних. Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными (полное число индексов иногда называют рангом тензора А; мы предпочитаем термин полная валентность.) Всякий тензор валентности естественным образом ассоциирован с единственным вектором, а именно с таким, компоненты которого (в произвольном базисе) идентичны компонентам тензора. Можно было бы просто идентифицировать тензоры валентности с векторами, если бы наше частное определение тензора не приводило при этом к логическому замкнутому кругу. (Одна из трудностей, связанных с этим определением, заключается в том, что базис уже есть множество векторов!) Будем называть тензор валентности контравариантным вектором. Тензор валентности это тоже некая разновидность вектора. Договоримся называть такой вектор ковариантным или ковектором. При любой валентности существует особый тензор О, компоненты которого равны нулю в любом базисе. Кроме того, существует специальный тензор 6 валентности компоненты которого в любом базисе дают символ Кронекера

Тензор валентности называется скаляром.