Подсчет степеней свободы

Теперь мы можем найти число степеней свободы полей. Для этого вспомним общее положение для задач с начальными данными: на характеристической (т. е. изотропной) начальной гиперповерхности требуется задать вдвое меньше действительных чисел в каждой точке, нежели в случае пространственно-подобной гиперповерхности [40, 82, 156]. В рассматриваемом случае мы имеем дело с начальными данными на гиперповерхности которая (по крайней мере не слишком далеко от точки О и вне самой точки О) является гладкой изотропной гиперповерхностью. Следовательно, число действительных величин, которые нужно задать в каждой точке в качестве начальных данных на должно быть вдвое меньше, чем в случае обычной пространственно-подобной гиперповерхности. Мы будем иметь одно комплексное значение (т. е. два действительных) в каждой точке гиперповерхности для каждого из полей (5.10.1), принадлежащих точной системе. Это верно, если на поле не налагается условие эрмитовости (в таком случае оно имеет одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов). В случае эрмитова поля изотропное значение должно быть действительным. Таким образом, число «степеней свободы» системы полей, определяемое как половина числа действительных переменных, необходимых для задания начальных значений на пространственноподобной гиперповерхности, равно удвоенному числу неэрмитовых полей в системе (5.10.1) плюс число эрмитовых полей.

Проверим это на известных примерах. В случае свободных уравнений Максвелла в заданном фоновом пространстве-времени имеем единственное поле так что число степеней свободы равно двум. (В обычном «пространственноподобном» описании это число получается как половина числа, равного шести степеням свободы для минус два условия связей ) В случае дираковского поля имеем два спинора в системе (5.10.1), что соответствует четырем степеням свободы. (В обычном формализме имеем четыре комплексные компоненты одного дираковского 4-спинора, т. е. восемь действительных чисел в каждой точке пространственноподобной гиперповерхности.) В случае действительного скалярного поля (Шредингера — Клейна—Гордона или Даламбера) имеем одно эрмитово поле и потому одну степень свободы. (В обычном формализме в качестве начальных данных нужно задать поле и его первую производную по времени, т. е. два числа в каждой точке.) В случае полей с большими спинами в формализме Дирака — Фирца (5.10.35) требуется всего неэрмитовых спиноров [формула (5.10.38)], чтобы иметь точную систему полей, а потому число степеней свободы будет равно обычном формализме это число возникает иным путем [35, стр. 121].) Наконец, в случае общей теории относительности сразу видим, что число степеней свободы гравитационного поля равно двум, поскольку это поле определяется единственным неэрмитовым спинором обычном формализме к этому результату прийти сложнее, поскольку имеется много избыточных переменных и связей, которые нужно учитывать