Частные случаи преобразования Лоренца, выделенные по характеру его действия на S+

Проанализируем структуру лоренцевых преобразований в свете только что полученных выводов. Сначала рассмотрим случай, когда упомянутые два неподвижных изотропных направления отличаются друг от друга. Канонический вид для такого преобразования Лоренца можно получить, выбрав нашу систему тетрад Минковского таким образом, чтобы векторы

Рис. 1.6. Поворот на сфере

Рис. 1.7. Буст на сфере

Рис. 1.8. Четыре-винт на сфере

лежали в 2-плоскости, натянутой на эти изотропные направления. Тогда последняя должна иметь компоненты (1, 0, 0, ±1), откуда заключаем, что неподвижные точки совпадают с северным и южным полюсами сферы Наиболее общее дробно-линейное преобразование (1.2.17), сохраняющее оба полюса инвариантными, имеет вид

где — действительные числа. Это преобразование представляет собой произведение (в любом порядке) вращения на угол вокруг оси и буста вдоль оси с быстротой (рис. 1.6, 1.7, 1.8). В координатах Минковского (1.2.15) имеем

Это — преобразование, которое Синг [175, стр. 86] называет «четыре-винтом».

Мы уже видели, что чистые бусты в направлении соответствуют растяжению аргандовой плоскости. Если рассматривать небесное отображение в сферических полярных координатах на небесной сфере [формула (1.2.11)], то это приводит к аберрационной формуле для приходящих световых лучей:

Здесь есть скорость в направлении наблюдателя, измеряющего угол , по отношению к наблюдателю, измеряющему угол (Поскольку наши преобразования активные, мы должны представлять себе остальную Вселенную движущейся со скоростью в направлении оси ) Мы видим, что наблюдателю, движущемуся с высокой скоростью по направлению к звезде Р, все прочие звезды кажутся все более и более группирующимися вокруг Р по мере роста его скорости.

Далее, рассмотрим преобразования Лоренца, для которых упомянутые два неподвижных изотропных направления совпадают. Такие преобразования называются изотропными вращениями. Без потери общности мы можем выбрать неподвижное изотропное направление так, чтобы оно соответствовало северному полюсу сферы Таким образом, точка должна быть единственной неподвижной точкой дробно-линейного преобразования (1.2.17), так что

где Р — некоторое комплексное число. Преобразование (1.3.6) представляет собой просто сдвиг на аргандовой плоскости. (Дробно-линейное преобразование аргандовой плоскости, для которого точка неподвижна, должно иметь вид но при оно имеет еще и конечную неподвижную точку.) Спиновые преобразования, приводящие к (1.3.6), имеют вид

Без потери общности мы можем положить, скажем, где а — действительное число. Тогда в координатах Минковского получим

Рис. 1.9. Изотропное вращение на сфере

Заметим, что изотропный вектор инвариантен полностью, а не только по направлению.

Чтобы наглядно представить описанное изотропное вращение римановой сферы, мы приводим рис. 1.9. Жесткий сдвиг аргандовой плоскости приводит к преобразованию римановой сферы, смещающему точки по окружностям, которые проходят через северный полюс, касаясь в нем направления оси у. При приближении к северному полюсу смещения становятся все меньше и меньше, оставляя северный полюс единственной неподвижной точкой.

Как уже говорилось, наиболее общее дробно-линейное преобразование, для которого точка неподвижна, имеет вид . Оно может быть разложено на сдвиг, вращение и растяжение аргандовой плоскости (в любой последовательности). Таким образом, наиболее общее ограниченное преобразование Лоренца, сохраняющее инвариантным заданное изотропное направление К (скажем, в плоскости и есть произведение изотропного вращения относительно К, пространственного вращения относительно и -буста. Первые два из перечисленных преобразований оставляют инвариантным весь вектор К, последнее — лишь его направление.

Отметим, что как преобразования Лоренца, сохраняющие инвариантными два заданных изотропных направления, так и изотропные вращения, сохраняющие инвариантным одно заданное изотропное направление, образуют двумерную абелеву подгруппу группы Лоренца. В первом случае мы имеем дело с аддитивной группой по комплексному числу (модуль ), а во втором — с аддитивной группой по Эти группы неизоморфны, поскольку они имеют разную топологию соответственно). Действительно, все числа приводят к одному и тому же преобразованию, тогда как при разных все изотропные вращения различны.