4. Дифференцирование и кривизна

§ 1. Многообразия

В гл. 2 и 3 мы не интересовались деталями структуры модуля спин-векторных полей. Хотя в гл. 3, § 1 возникла необходимость связать структуру модуля с понятием мирового вектора, существенное свойство мировых векторов — то, что они принадлежат пространствам, касательным к пространству-времени — не использовалось.

Но результаты предыдущих глав. приложимы и к таким-задачам, которые существенно отличаются от рассматриваемых в данной книге. Мы проиллюстрируем эту разницу на примере, взятом из теории элементарных частиц. Рассмотрим «пространство изотопического спина». В соответствии с названием оно имеет (поверхностное) сходство со спиновым пространством. Обычные спиновые состояния нуклона могут быть представлены как линейные комбинации двух состояний, скажем «спин вверх» и «спин вниз», с комплексными коэффициентами. Точно гак же состояния изотопического спина нуклона являются линейными комбинациями двух состояний «протон» и «нейтрон» с комплексными коэффициентами. Несмотря на формальное сходство, между этими ситуациями существует принципиальное различие. Оно состоит в том, что различные направления в спиновом пространстве ассоциируются с направлениями в пространстве-времени, т. е. важны соотношения между соседними точками, тогда как направления в изотопическом пространстве не связаны с подобной структурой.

Можно также привести математические примеры, в которых элементы базиса модуля ассоциируются с соотношением между соседними точками, но эта связь имеет иную природу. Рассмотрим четырехмерное действительное многообразие, которое является двумерной комплексной «поверхностью». Касательное пространство в каждой точке содержит два комплексных направления и имеет структуру, идентичную структуре спинового пространства. Однако эта конструкция существенно отличается от той, которую мы будем рассматривать ниже. Соответствие

между спиновым пространством и направлениями в многообразии должно быть установлено через посредство пространства мировых векторов. Как мы увидим, формальным следствием этого является то обстоятельство, что оператор дифференцирования имеет два спинорных индекса, а не один.

Как же выразить соотношения между соседними точками пространства-времени? Для этого нам следует уточнить понятие касательного вектора или поля касательных векторов. Мы определим векторы как производные по направлению, действующие на скаляры на многообразии [ср. формулу (1.4.1)]. Следовательно, вектор «направлен» так же, как производная, характеризующая быстроту изменения скаляра. Эти производные по направлению полностью характеризуются своими формальными свойствами — свойствами отображений системы скалярных полей, которая содержит всю информацию, необходимую для определения структуры многообразия и системы касательных векторов на нем.

Поскольку скалярные поля играют фундаментальную роль в нашем методе, да и сами координаты системы можно мыслить как множество скалярных полей, представляется удобным установить аксиомы, определяющие многообразие исключительно на основе свойств скалярных полей. Для большей общности мы проведем рассуждения в форме, пригодной для любого я-мерного (хаусдорфова, паракомпактного, связного) многообразия. Это не приводит к дополнительным усложнениям. Только в § 4 мы перейдем к специальному случаю пространства-времени . В данном параграфе рассуждения первоначально будут проведены в случае действительных -скалярных полей. Для обозначения системы таких полей мы пользуемся (как прежде) буквой Система комплексных -скалярных полей в свою очередь может быть определена через (как

Мы рассматриваем как абстрактное множество точек, структура которого определяется непустым множеством X, каждый элемент которого (называемый скаляром) есть отображение

Специальный выбор элементов множества позволит полностью охарактеризовать как дифференцируемое многообразие при наличии достаточно полного набора аксиом для . Возникающая на дифференцируемая структура оказывается такой, что каждый элемент множества является фактически -скалярным полем. Наш выбор аксиом основан на системе аксиом, представленной в работе [31] (см. также [128]). Она полностью эквивалентна обычному определению многообразия, данному, например, в монографиях [84, 91, 102, 104].

В качестве первой мы выбираем следующую аксиому: Аксиома

Если и если есть любая -действительнозначная функция действительных переменных, то функция [рассматриваемая как функция на тоже есть элемент множества .

Отметим, в частности, что, поскольку любая константа есть О-функция, любое отображение (4.1.1), которое сопоставляет каждой точке множества одно и то же число , т. е. любое постоянное отображение, будет элементом множества . Этот элемент мы обозначаем той же буквой Подмножество множества , состоящее из всех постоянных отображений, мы будем обозначать через . Очевидно, что есть кольцо, изоморфное пространству Поскольку сложение и умножение принадлежат классу -отображений: в соответствии с аксиомой (4.1.2) мы заключаем, что множество 2 наделено операциями сложения и умножения, определенными следующим образом:

для всех Следовательно, в введена структура коммутативного кольца с единицей [формула (2.1.22)], причем Очевидно, что также есть векторное пространство над Я. Вместе взятые, эти свойства наделяют 2 структурой коммутативной алгебры над .

Для формулировки двух следующих аксиом нам потребуется понятие окрестности точки Мы определяем 2-окрестность точки Р как множество точек в которых для некоторого такого, что (Напомним, что эта процедура использовалась в гл. 2, § 4.) Очевидно, что пересечение двух 2-окрестностей тоже будет 2-окрестностью, так как если множество определено с помощью функции а множество Т — с помощью функции , то множество определено посредством элемента

Мы приписываем множеству топологию, генерируемую системой 2-окрестностей. Таким образом, подмножество множества будет открытым при том и только том условии, что оно

является объединением -окрестностей. Можно показать, что в этой топологии

Всякий элемент множества ... есть непрерывная функция на M.

т. е. прообраз открытого интервала в при отображении каждым элементом множества есть открытое множество в Для доказательства (4.1.4) возьмем открытый интервал (где ) и определим - «колоколообразную» функцию

При любом отображении прообраз интервала есть открытое множество, определенное так, что чем и доказывается наше утверждение.

Следующая аксиома наделяет действительнозначные функции на принадлежащие множеству свойством «локальности». (Мы полагаем, что -гладкость есть одно такое локальное ограничение.)

Аксиома

Если и если для всякой точки существуют -окрестность точки Р и элемент который согласуется с в то

Отметим, что эту аксиому можно сформулировать иначе: если и если для всякой точки существуют удовлетворяющие условиям то

Наконец, нам потребуется аксиома, определяющая как «локально -мерное евклидово» многообразие. Здесь —фиксированное целое число.

Аксиома

Для всякой точки существуют Z-окрестность и элементов таких, что: 1) для двух данных точек множества по крайней мере один из элементов принимает различные значения в этих точках и 2) всякий элемент может быть представлен в как -функция от

Скаляры введенные в (4.1.7), назовем локальными координатами в окрестности точки Р. Множество назовем локальной координатной окрестностью, а пару локальной координатной системой. (Такая терминология, в соответствии с которой координаты оказываются частным случаем скалярных полей, несколько расходится с их классическим определением. Однако она вполне логична в свете современных исследований, в которых векторы, тензоры, скаляры и т. д. определяются не классическим способом, основанным на преобразованиях координат.) Свойство 1 в аксиоме (4.1.7) означает, что величины могут служить метками точек в Благодаря (4.1.4) это отображение непрерывно и сопоставляет различным точкам различные координатные метки. Свойство 2 в (4.1.7) [вместе с (4.1.2) при означает, что есть несингулярная координатная система в 41, поскольку, будучи ограниченными на элементы множества в точности совпадают с теми элементами, которые представимы -функциями координат Если ввести координатную систему которая покрывает другую -окрестность в соответствии с (4.1.7), то на пересечении каждая система координат должна быть представима как набор -гладких функций от другой. Это обеспечивает связь между нашим определением многообразия и более привычным, использующим перекрывающиеся координатные карты.

Нетрудно даже доказать эквивалентность этих двух определений. Из аксиом (4.1.2), (4.1.6) и (4.1.7) следует, что локальные координаты системы из (4.1.7) содержат покрытие таким набором координатных окрестностей, который удовлетворяет всем стандартным требованиям. И наоборот, если на основе стандартного определения задано хаусдорфово многообразие то мы можем определить как множество, содержащее лишь те действительнозначные функции на которые могут быть представлены как -функции координат. Тогда удовлетворяет трем аксиомам (4.1.2), (4.1.6), (4.1.7) и будет многообразием в соответствии с нашим определением.

Из нашего определения топологии многообразия и аксиомы следует, что

M есть хаусдорфово топологическое пространство.

Это означает, что для любой пары различных точек может быть найдена такая пара неперекрывающихся -окрест-ностей, каждый член которой содержит лишь одну из точек. Чтобы установить это свойство, нам достаточно найти функцию принимающую различные значения в точках Р и соответственно. Действительно, положив можно получить непересекающиеся окрестности, выбирая для Р и соответственно. Для доказательства существования функции А мы используем аксиому (4.1.6). Тогда либо принадлежит множеству 41, либо нет.

В первом случае в качестве можно выбрать ту координату которая принимает в точках Р и различные значения. Во втором случае в качестве А можно выбрать функцию, определяющую она отлична от нуля на и обращается в нуль всюду вне

Естественно считать, что топология многообразия имеет счетный базис (в данном случае это предположение эквивалентно паракомпактности [59, 106]). Мы сформулируем это в следующем виде:

Аксиома

Существует счетный набор -окрестностей, такой, что всякая -окрестность может быть представлена в виде объединения элементов этого набора.

Это предположение становится избыточным, как только на многообразии введена метрика (или связность) но для наших целей оно полезно, поскольку гарантирует, что многообразие не «патологично» и к нему приложимы результаты гл. 2, § 4 (обусловливающие полную рефлексивность системы Аксиома (4.1.8) может быть сформулирована иначе: может быть покрыто счетным набором координатных окрестностей.

Следующее обычное предположение о структуре пространственно-временного многообразия устанавливает Аксиома

M связно.

Это означает, что не является объединением двух непустых непересекающихся открытых множеств. В приложении к это условие можно сформулировать следующим образом: если и если то для некоторой точки Эта аксиома выбрана тоже в целях удобства. С учетом указанных ограничений на топологию множества мы в дальнейшем будем пользоваться термином «окрестность» вместо -окрестность.