Взвешенные скаляры

Мы предполагаем, что в каждой точке пространства-времени фиксированы два ориентированных в будущее изотропных направления. Пусть — пара спинорных полей на М, флагштоки которых совпадают с этими направлениями. Так же как в (4.5.6), мы полагаем

Наиболее общее преобразование диады, оставляющее изотропные направления инвариантными, таково:

где произвольные (нигде не обращающиеся в нуль) комплексные скалярные поля. При преобразовании (4.12.2) имеем

Если принято обычное условие нормировки то оно сохраняется указанными преобразованиями при дополнительном условии

Нам удобнее не фиксировать условие (4.12.4), считая и независимыми величинами. При необходимости же переход к и нормировке не представляет труда. В случае изотропной тетрады

преобразование (4.2.12) имеет вид

причем .

Если и выполнено условие (4.12.4), то можно положить

где — действительные числа; тогда (4.12.6) принимает вид лоренцева поворота:

в сочетании с пространственным вращением

Таким образом, мы имеем двумерный «калибровочный произвол» в каждой точке, а именно двухпараметрическую подгруппу группы Лоренца, которая сохраняет два изотропных направления, определяемых векторами и . Эта «калибровочная группа», как видно из (4.12.2) и (4.12.4), совпадает с группой умножения на комплексные числа. В более общем случае, когда не предполагается выполнение условия (4.12.4), калибровочная группа оказывается прямым произведением таких мультипликативных групп.

Основные величины в нашем формализме — скаляры (а иногда тензоры или спиноры) ассоциированные с (необязательно нормированной) диадой Преобразование диады (4.12.2) индуцирует следующий закон преобразования этих величин:

Такую величину мы называем (взвешенной) величиной типа Если все четыре числа, характеризующие тип данной величины, равны нулю, то мы будем говорить о ней, как о величине нулевого типа. В специальном случае (4.12.4) фиксируются только два числа

и мы говорим, что имеет тип или, что эквивалентно, спиновый вес и бустовый вес Аналогичная терминология применима в общем случае, когда снимается ограничение (4.12.4). Мы иногда будем говорить, что есть -скаляр или -скаляр.

Если говорить точнее, то взвешенный скаляр определяется как функция, сопоставляющая каждой паре спинорных полей комплексное скалярное поле Функция называется взвешенной величиной, если преобразованием диады по закону (4.12.2) индуцируется следующее преобразование функции

Отметим, что можно рассматривать как спиноры типа соответственно, а как векторы типа соответственно.

Теперь можно разделить спиновые коэффициенты на два класса в зависимости от того, являются ли они взвешенными величинами или нет. Оказывается, что спиновые коэффициенты в первом и последнем столбцах формулы-таблицы (4.5.21), а именно являются такими величинами, тогда как — нет. Проиллюстрируем это двумя примерами:

но

Ниже указан тип взвешенных спиновых коэффициентов:

Отметим также, что

Любое заданное на пространстве-времени спинориое или тензорное поле характеризуется набором скаляров («компонент»), имеющих различные веса. Их можно представить в виде сверток спинора с определенными комбинациями элементов базиса или тензора с определенными комбинациями . При желании тензорное поле можно рассматривать как спинорное, но соответствующее множество скаляров будет тем же независимо от способа вычисления. Это следует из определения (4.12.5) изотропной тетрады на основе диады.

Очевидно, что произведение -скаляра и ; -скаляра будет -скаляром. В то же время складывать можно лишь скаляры одного веса; вес суммы равен весу слагаемых.