Совместные системы полей с высшими спинами

При определенных условиях можно построить совместные уравнения для безмассовых полей с большими спинами, взаимодействующих с гравитационным или электромагнитным полем.

Однако они уже не будут описываться простыми калибровочноинвариантными спинорами, удовлетворяющими некоторым полевым уравнениям, подобным уравнению (5.7.2). Например, мы видели, как построить уравнения поля со спином 2 на фоне пространства-времени М, удовлетворяющего вакуумным уравнениям Эйнштейна, рассматривая возмущения метрики пространства-времени, которые тоже удовлетворяют вакуумным уравнениям Эйнштейна. При этом вместо калибровочно-инвариантной величины Фавсо мы описываем поле потенциалами удовлетворяющими условию (5.7.14) в качестве полевого уравнения. Две такие величины считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они связаны между собой преобразованием вида (5.7.11); затем мы вводим спинор определяемый соотношением (5.7.15). Но если мы будем рассматривать это как теорию безмассового поля со спином 2 на фоне заданного вакуумного пространства-времени, мы все же столкнемся с трудностью, заключающейся в отсутствие калибровочно-инвариантного локального тензора энергии-импульса.

Ситуация, возможно, несколько более удовлетворительна в случае безмассового поля со спином 3/2. Одним из побочных результатов теории суперсимметрии [43, 72] является доказательство того, что существует связанная система уравнений для безмассовых полей со спином 3/2 и гравитационного поля. Поле со спином 3/2 можно задать потенциалом

[хотя оно обычно описывается «майорановским 4-спннор-тензором» поскольку свойства симметрии потенциала более сложны], удовлетворяющим уравнению

В пространстве Минковского М это означало бы, что «поле»

удовлетворяет уравнению для безмассовых полей (5.7.2), но в искривленном пространстве-времени есть поправочные члены, включающие потенциал Хлвс и кривизну. Тензор энергии-импульса с точностью до дивергенции пропорционален выражению

плюс квадратичные по члены, связанные с кручением (гл. 4, § 2) и пропорциональные разности

(Полная теория супергравитации инвариантна относительно калибровочных преобразований, включающих как гравитационное

поле, так и поле со спином 3/2: метрика приобретает добавку, пропорциональную а поле со спином 3/2 — добавку причем «поле со спином 1/2», определяющее выбор калибровки, удовлетворяет уравнению Поле со спином 3/2 обладает также определенными свойствами антикоммутативности, которые тоже необходимы для совместности полевых уравнений. Форма уравнений для которая приведена выше, отвечает ограничению такими калибровочными преобразованиями, которые не нарушают симметрии по индексам АВ [5].)

Возможны также, по-видимому, и другие специальные системы совместных уравнений [23, 24, 50].