Ортонормированный базис для спиновых функций

Свойство ортогональности можно использовать для построения полного ортонормированного базиса для спиновых скалярных функций на . В литературе [79, 124] элементы этого базиса обозначают символами . Мы будем называть эти функции базисными спиновыми гармониками. Они, однако, зависят от (произвольного) выбора базиса для Мы фиксируем постоянный спинорный базис , для которого

так что

и определяем

Тогда для каждого фиксированного и переменного (такого, что принимает целые значения) величины (4.15.93), очевидно, образуют базис в Кроме того, они ортогональны (но не ортонормированы) в. том смысле, что

Компоненты величины (4.15.93) в первоначальном (непостоянном) спинорном базисе можно вычислить непосредственно, выписывая симметризованное выражение, что дает величины типа

где суммирование распространяется на все целые значения удовлетворяющие неравенству и где

Матрица в (4.15.96) должна быть унимодулярной, и при еще и унитарной, поскольку она представляет (пассивное) спиновое преобразование, которое при есть пространственный поворот одного спинового базиса относительно другого [формула (1.2.29)]. Выражения (4.15.95) с точностью до нормировочного множителя совпадают с базисными спиновыми сферическими гармониками Для вычисления нормировочного множителя заметим, что в силу формул (4.15.90) и (4.15.94) мы имеем

Таким образом, мы получаем величину типа

(где множитель введен для согласования со стандартными обозначениями, принятыми в литературе [164]). При каждом значении эти функции ортонормированы:

Хотя — стандартные базисные спиновые сферические гармоники, для практических целей обычно удобнее функции .

Из симметрии выражений (4.15.95) и (4.15.97) следуют интересные соотношения взаимности:

а также другие полезные соотношения:

последние две формулы получаются при действии операции «штрих» на спиновые системы отсчета соответственно. Кроме того, поскольку

как следствие унитарности (после подходящего масштабного преобразования) и унимодулярности матрицы (4.15.96) мы получаем из (4.15.95), что

Отметим, что действие операторов на эти величины легко вычисляется из (4.15.95) с учетом (4.15.27) и (4.15.28) (где

дают нуль при действии на константы

откуда

Существует некоторое расхождение между определением данным здесь, и тем, которое ранее использовалось Ньюменом и Пенроузом [124]. Чтобы согласовать эти два определения, следует положить

тогда выбор поверхности в виде единичной сферы приводит к разнице в раз. Имеется также различие в знаке, которое возникает потому, что мы используем на 9 отрицательно определенную метрику (индуцированную пространством-временем, в которое вложена сфера), тогда как Ньюмен и Пенроуз [124] использовали положительно определенную метрику. Наконец, принятая здесь естественная связь между спиновой системой отсчета и ориентацией поверхности (см. начало § 14), а также определение координаты [формулы (1.2.10) и (1.2.13)] как антиголоморфной, что означает выбор отрицательной ориентации на эффективно приводит к перестановке операторов Поэтому спиновые веса, определенные здесь, противоположны по знаку спиновым весам, использовавшимся в работе [124]. Подобный выбор оказывается удачным, поскольку (гл. 9, § 7, 9) такое определение спинового веса соответствует определению спиральности уходящего излучения со знаком плюс (а не минус).