Векторные поля

Теперь мы можем ввести понятие (контравариантного) векторного поля V (или поля касательных векторов) на Определим V как отображение

обладающее следующими тремя свойствами:

Такое отображение назовем дифференцированием на , где рассматривается как алгебра над Я. Множество всех таких отображений мы будем обозначать символом Вскоре мы установим связь с определением множества данным ранее.

Пусть мы имеем отображение такое, что в любой локальной координатной системе действие может быть представлено в виде

где

Тогда удовлетворяет всем трем соотношениям (4.1.11) и, следовательно, будет дифференцированием. Мы можем записать (4.1.12) в виде

где подразумевается, что операторы действуют на скалярные поля. В другой локальной системе координат мы будем иметь

Если и перекрываются, то на пересечении должно выполняться соотношение

Таким образом,

Рассматривая как компоненты вектора в координатах соответственно, мы приходим к стандартному классическому определению контравариантного вектора. Следовательно, любой классический контравариантный вектор однозначно соответствует отображению которое в произвольной локальной системе координат представимо в виде линейной комбинации операторов частных производных по этим координатам. Более того, любое такое отображение есть пример дифференцирования на Следующий результат (4.1.18) устанавливает справедливость обратного утверждения. С учетом этого мы получаем полную эквивалентность между понятиями дифференцирований на линейных дифференциальных операторов на (или производных по направлению) и классического контравариантного вектора.

Предложение

Если то в любой локальной координатной системе вектор V имеет вид для некоторых

Доказательство. Если мы сможем установить, что в каждой точке множества вектор V имеет вид то отсюда будет следовать, что Действительно, в мы имеем

поскольку координаты сами являются -скалярами Теперь фиксируем точку с координатами Пусть — координатный -диск где выбрано столь малым, что Возьмем произвольную точку с координатами Тогда точки с координатами также принадлежат Пусть — некоторый элемент множества Имеем

где

Таким образом, мы получили выражение вида

причем в точке X имеем

Действуя оператором V на (4.1.22), получаем с учетом (4.1.11)

где точка X считается фиксированной, а — координаты бегущей точки Р, в которой мы хотим вычислить V. Пусть теперь Используя (4.1.23) и полагая получаем в точке X

Эта же формула справедлива для всякого и для всякой точки чем и завершается доказательство нашего утверждения.

Из предложения (4.1.18) прямо вытекает следующее свойство дифференцирования:

Свойствами (4.1.11) исчерпываются все частные случаи утверждения (4.1.26). Таким образом, утверждение (4.1.26) эквивалентно утверждению (4.1.11). Более того, положив мы сразу же воспроизведем (4.1.18).

Определение дифференцирования на 2; даёт нам изящный алгебраический способ характеризовать касательное векторное поле на Л. Нам потребуется также определение касательного вектора в данной точке Предварительно мы введем отношение эквивалентности между дифференцированиями, полагая вектор V эквивалентным вектору V в том и только в том случае, когда будучи вычислены в точке Р, дают одно и то же действительное число для всякого Этот класс эквивалентности, обозначаемый символом и выражаемый

словами «V в Р», называется касательным вектором в точке Р, принадлежащим векторному полю V. Имеем

Рассматривая локальные координаты в окрестности точки Р, мы имеем в том и только в том случае, когда в точке Р для всякого Таким образом, значения компонент вектора V в точке Р, а именно могут рассматриваться как компоненты вектора V в координатах Поскольку это просто набор действительных чисел, касательные векторы в точке Р образуют векторное пространство над размерности называемое касательным пространством к в точке Р. Это пространство будем обозначать символом Иногда для его обозначения мы будем пользоваться символом который означает также множество касательных векторных полей. Это будет специально указано или явствовать из контекста. В аналогичной ситуации — когда мы рассматриваем одну точку или несущественно, рассматриваются ли векторы в точке или векторные поля — мы используем символ вместо

Иногда оказывается полезным альтернативное определение касательного вектора в точке как отображения обладающего свойствами (4.1.11) и одним дополнительным свойством: если функции принадлежат и совпадают, по всей окрестности точки то Считая, что в предложении (4.1.18) точка X совпадает с точкой и повторяя его доказательство, можно показать эквивалентность этого определения предыдущему.

Аналогично вводится понятие векторного поля на (достаточно «хорошем») подмножестве многообразия . Так же как в случае единственной точки, можно ввести отношение эквивалентности между дифференцированиями, считая, что дифференцирование эквивалентно дифференцированию V в том и только в том случае, если в каждой точке подмножества 9" для любого Мы обозначаем этот класс эквивалентности символом и будем говорить о нем, как о части векторного поля которая лежит на . Обозначим через множество векторных полей, лежащих на а через - скалярные поля, ограниченные на (т. е. «лежащие на» Ф).

Мы определяем сумму двух данных дифференцирований следующим образом:

Очевидно, что Мы можем также определить умножение дифференцирования на скаляр по правилу

Ясно, что и в этом случае . Легко видеть, что в некоторой координатной системе компонента суммы равна — компоненты произведения Более того, очевидно, что относительно операций (4.1.28) и (4.1.29) пространство 2 образует модуль над Аналогичные утверждения относятся к Рассуждения гл. 2, § 4 позволяют заключить, что модуль 2 вполне рефлексивен.