Конформные движения поверхности

Существует замечательный способ реинтерпретации величин типа рассматриваемых как функции на Поскольку спинор можно представить как (отмеченный) изотропный флаг в точке то эффективно является функцией этого изотропного флага. Флагшток именно вектор определяет точку на конусе Если мыслить как функцию спиноров достаточно рассматривать только конус и полностью игнорировать Вместо обычной сферы мы имеем абстрактную сферу, рассматриваемую как пространство образующих конуса Напомним, что такай подход к сфере Римана был принят в гл. 1, § 2. Он целесообразен и при изучении конформных преобразований поверхности Если в рассматриваются активные преобразования Лоренца, оставляющие точку

Рис. 4.5. Конформное преобразование метрики на возникает в результате переноса вдоль образующих конуса к сеченню Р.

неподвижной, то на сфере индуцируются конформные преобразования. Если преобразование Лоренца сводится к вращению, то вершина конуса остается неподвижной; но в общем случае это не так. Конус (но не отображается на себя, поэтому как пространство образующих конуса тоже отображается на себя. Следовательно, преобразования Лоренца, оставляющие вершину неподвижной, индуцируют конформные отображения поверхности на себя.

В соответствии с этой точкой зрения величина

есть конформный вес функции (для простоты мы предполагаем, что — взвешенный скаляр). Напомним, что в гл. 1, § 4, рис. 1.11, с. 59) мы ввели различные метрики на абстрактной конформной сфере, каждая из которых соответствует заданной конформной структуре и получается выбором различных сечений 9 конуса (рис. 4.5). Если 9 лежит в пространственноподобной гиперплоскости, то возникает стандартная метрика на сфере, а в остальных случаях мы имеем более общую метрику. Рассмотрим определенную образующую конуса и предположим, что сечение пересекает ее в точке, положение которой определяется вектором исходящим из вершины Сдвинем так, чтобы этот вектор принял вид Индуцированный метрический тензор в таком сечении подвергнется масштабному преобразованию с множителем на этой

образующей, т. е. линейный размер возрастет пропорционально k. Спинор приобретет множитель так что если функция имеет показатели однородности и то она приобретает множитель Это оправдывает терминологию, принятую для (4.15.19) (ср. гл. 5, § 6). Отметим, что конформный вес и спиновый вес текст после формулы (4.12.10)] совместно определяют тип наоборот):

В то же время если рассматривать как функцию спиноров то имеет смысл пространства образующих конуса и конформные движения на 9 индуцируются преобразованиями Лоренца, оставляющими неподвижной точку (при этом переходит в себя). Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, мы получим, что конформный вес функции равен

Следовательно, мы имеем

Чтобы понять, как это согласуется с (4.15.19) и (4.15.20), заметим, что метрика на абстрактной конформной сфере теперь дается сечением конуса а соответствие между образующими конусов которое возникает при перемещении точки вдоль , содержит антиподальное отображение. (См. рис. 4.5; образующим конуса можно сопоставить образующие конуса с помощью трансляции на IV! переводящей в Таким образом, преобразования Лоренца, действующие на М (из соображений симметрии выберем их так, чтобы точка О оставалась неподвижной), индуцируют различные отображения на абстрактной сфере в зависимости от того, рассматривается ли она как пространство образующих конуса или конуса Различие возникает из-за того, что эти два представления связаны антиподальным отображением. (Хотя конусы 9? и изменяются при таком отображении, абстрактные пространства направлений и образующих отображаются каждое на себя.)

Отметим, что понятие конформного веса существенно отличается от обсуждавшихся здесь весов и подробнее об этом говорится в гл. 5, § 6. Однако в данном параграфе мы будем использовать величины и до как характеристику, альтернативную понятию типа, и говорить о величине типа как о величине типа до]. При этом подразумевается, что в качестве

переменных выбраны спиноры о, так что

Вернемся к соотношениям (4.15.15) и (4.15.16) для Отметим, что последняя строчка каждого из этих соотношений содержит только [только Используя эти выражения, мы можем оставаться в рамках описания на основе спиноров [или и считать операторы определенными в пространстве образующих конуса [или ]. Операторы вообще говоря, не являются конформно-инвариантными на поскольку явно содержат вектор .

Однако оказывается, что для каждого данного спинового веса существует конформный вес до, определяющий степень оператора 6 или так, что эти степени оказываются конформными инвариантами [52, 133]. Мы используем описание на основе спиноров о и предполагаем, что имеет тип где Тогда

есть величина типа а потому действие на нее эйлерова однородного оператора дает нуль [формула (4.15.17)]:

Поскольку выражение симметрично по из (3.5.27) следует, что

для некоторого скаляра , очевидно, есть величина типа Выполняя повторно свертку последнего равенства с (и замечая, что эта величина коммутирует с ), мы получаем с учетом формул (4.15.16) и (4.15.17)

Первоначально эта формула [или (4.15.30)] появилась без введение этого множителя дает возможность непосредственно использовать модифицированный формализм. (Если нормировать так, что то

Здесь имеет смысл привести ряд различных элементарных соотношений между величинами, определенными выше. Они прямо

следуют из формул (4.12.28), (4.15.9), (4.15.4), (4.15.6) и

еще одно соотношение следует из формулы (4.14.1):

где — произвольный -скаляр и

В силу четвертого из равенств (4.15.28) мы можем переписать (4.15.26) в виде

Отметим, что в (4.15.25) не входят величины и . Следовательно, соотношение между (тип {р, q}) и (тип в виде (4.15.30) лоренц-инвариантно. Частным случаем равенства (4.15.26) является лоренц-инвариантное уравнение и аналогично [ср. с формулой (4.15.32) ниже].

Поскольку ограниченные лоренцевы преобразования, оставляющие неподвижной точку могут быть отождествлены с конформными движениями поверхности , сохраняющими ориентацию, это свойство инвариантности можно интерпретировать как конформную инвариантность операции, введенной в (4.15.30). Но это не та общая локальная конформная инвариантность, которую мы будем подробно рассматривать в гл. 5, § 6. Если допустить произвольные масштабные преобразования метрики, отвечающие здесь переходу от к произвольному сечению конуса то индуцированная метрика такого сечения не обязательно совпадает с внутренней метрикой сферы. При этом соотношение (4.15.30), вообще говоря, не выполняется (если не считать случая поскольку оператор определен на основе внутренних величин на (т. е. определен по отношению к вектору , локально ортогональному к . Формула (4.15.30) остается справедливой для специального случая, когда есть метрическая сфера. Эта ситуация реализуется, если Ф есть пересечение с пространственноподобной гиперплоскостью (см. рис: 1.11). В этом случае путем преобразований Лоренца можно повернуть нормаль к гиперплоскости в направлении вектора Та, а затем свойство инвариантности доказывается так же, как это сделано выше.

Предположим теперь, что произвольно). Рассуждая так же, как и ранее, в комплексно-сопряженном случае, можно показать, что существует , удовлетворяющий соотношениям

Если и то можно применить формулу (4.15.30) к А, что дает

для некоторого скаляра типа Точно так же можно применить формулу (4.15.32) к и получить для того же скаляра выражение

Этот результат немедленно следует из формул (4.15.25) и (4.15.31), если учесть коммутативность операторов Таким образом, получаем

[Этот же результат можно получить прямо из соотношения (4.15.29), но вычисления при этом оказываются более громоздкими.] В действительности, поскольку умножение на подходящую степень величины переводит тип из в соотношении (4.15.35) существенно только значение разности Поэтому можно получить гораздо более общее соотношение [133]

для любых таких, что , где — спиновый вес функции

Можно повторить рассуждения, приводящие к (4.15.26) и т. д., используя описание с помощью величины . Если — величина типа то при находим

где — величина типа Точно так же, если находим

где — величина типа Легко показать, что эти результаты в точности совпадают с полученными ранее. Для этого достаточно выразить и через спиновый вес и конформный бес пользуясь формулами (4.15.20). Мы видим, что в формулу (4.15.32) входит оператор действующий на величину со спиновым весом и конформным весом , а из (4.15.22) мы находим, что в формулу (4.15.38) входит оператор действующий на величину со спиновым весом и конформным весом да Появление и в (4.15.38) вместо в (4.15.32) связано с различным действием масштабных преобразований, индуцированных преобразованиями Лоренца в этих двух случаях, как это отмечалось выше, а также тем, что заменяется на соответствие между (4.15.30) и (4.15.40) устанавливается вполне аналогично.

Особый интерес для нас будут представлять однородные полиномы (мы снова возвращаемся к описанию на основе спиноров

где - есть константа, которую без ограничения общности можно считать симметричной. Иногда мы будем использовать в М обозначение для подсистемы Элементов [векторное пространство над см. замечания после формулы (4.1.2)], которые постоянны на всем пространстве М. Принимая также скобочные обозначения, введенные в формуле (3.3.14), можно записать условие на в виде

Очевидно, что имеет тип При ограниченных преобразованиях Лоренца, оставляющих неподвижной точку (т. е. таких, какие и должны быть при конформных движениях поверхности ), эти полиномы преобразуются по -мерному комплексному

представлению. Такие представления реализуются в пространстве симметричных «неприводимых» спиноров (гл. 3, § 5), играющих теперь новую роль.