§ 6. Спиноры кривизны

В § 2 мы видели, как понятие ковариантного дифференцирования тензоров приводит к определению тензора кривизны Таким образом, можно ожидать, что существует спинорный аналог тензора для ковариантных производных от спиноров. Можно было бы развить теорию спинорной кривизны, оставаясь в рамках спинорного формализма, но этот путь оказывается достаточно сложным. Мы будем следовать более простой процедуре: возьмем вместе с его алгебраическими и

дифференциальными свойствами из тензорной теории и отсюда получим свойства спинорной кривизны.

Для начала мы разобьем спйнор

на более простые части, а именно на спиноры, которые полностью симметричны по всем штрихованным и всем нештриховьнным индексам. Аналогичные вычисления проводились в гл. 3, § 3 [формулы (3.3.47) и далее Здесь мы воспользуемся более грямым методом, позволяющим к тому же получить некоторые полезные соотношения на промежуточной стадии редукции.

То, что спинор кососимметричен по позволяет использовать разложение (3.4.17); это дает

Учитывая антисимметрию по получаем

где

Спиноры (4.6.2) называют спинорами кривизны. В силу действительности спинора соотношения (4.6.1) содержат также комплексно сопряженные величины [формула (3.4.20)]. Из свойств антисимметрии спинора получаем следующие очевидные свойства симметрии [формула

Симметрия относительно перестановки пар индексов приводит к соотношениям

Второе из них означает, что соответствует действительному тензору , а из второго равенства (4.6.3) получаем, что след тензора равен нулю:

Отметим также, что из свойств симметрии (4.6.3) и (4.6.4) спинора следует равенство

Прежде чем перейти к спинорной форме циклического тождества для рассмотрим его различные «дуальные» представления. Выполняя дуальные преобразования над одной или двумя парами индексов, по которым тензор кососимметричен, можно построить три разные тензора, которые мы также запишем в спинорном виде [формула (3.4 23)]:

Очевидно, что все они наследуют свойства антисимметрии тензора Кроме того, как ни трудно убедиться, тензор симметричен относительно перестановки пар индексов:

и удовлетворяет циклическому тождеству

Отметим также свойство

Для удобства ссылок мы объединим (4.6.1) и соответствующие формулы, получающиеся из (4.6.7), в виде следующей схемы, где X, Ф, Ф, X временно изображают слагаемые в выражении (4.6.1):

Определим дуальные повороты тензора Римана аналогично формуле (3.4.42):

Аналогично формуле (3.4.43) мы получаем из (4.6.11)

Теперь мы готовы представить в спинорной форме последнее тождество для тензора Римана или эквивалентное ему тождество Необходимые вычисления упрощаются, если заметить, что в силу формулы (3.4.26) равенство эквивалентно равенству

а равенство эквивалентно равенству

Между прочим, теперь видно, что тензор удовлетворяет циклическому тождеству только в особых случаях: необходимое и достаточное условие для этого имеет вид что означает равенство нулю тензора Риччи. Данное замечание относится и к . В то же время всегда удовлетворяет циклическому тождеству, поскольку

Чтобы получить спинорную форму циклического тождества, мы подставляем (4.6.11) в (4.6.14). С учетом свойств симметрии получаем, что равенство (4.6.14) эквивалентно соотношению

Поднимая индексы С и С и выполняя свертку с индексами А и А, получаем

где

причем множитель 1/6 введен для удобства. Тогда [формула

поскольку симметрия (4.6.4) означает, что тензор Хавсв кососимметричен по Поэтому условие (4.6.16) является следствием равенства (4.6.17). Мы заключаем, что равенство (4.6.17) эквивалентно циклическому тождеству для тензора Римана, если считать известными свойства симметрии тензоров и Отметим, что при записи в компонентах циклическое тождество сводится к одному алгебраическому уравнению поэтому неудивительно, что в спинорной форме оно принимает вид одного действительного уравнения.) Итак, мы имеем спинорные эквиваленты для всех свойств симметрии тензора (4.6.3), (4.6.4) и (4.6.17).

Далее, мы вычислим тензор Риччи в спинорной форме. Из (4.6.1) получаем

что можно также записать в виде

Отсюда с учетом формулы (4.6.5) мы получаем выражения для скалярной кривизны

и для бесследовой части тензора Риччи

Имея в виду это соотношение, иногда называют спинором Риччи. Тензор Эйнштейна [тензор Риччи, обращенный по следу, см. в формуле (3.4.10)] принимает вид

или

Заметим, что

Это соотношение следует из (4.6.11), поскольку переход от к эквивалентен замене а это в свою очередь эквивалентно замене и [в силу (4.6.20) и (4.6.24)] замене