Действительные и комплексные тензоры

Теперь мы можем использовать теорию, изложенную в гл. 2, § 2. Введем множество меток и образуем канонически изоморфные копии модуля 2. Затем введем дуальные величины , наконец, множества . Аналогичная конструкция возникает для величины приводя к а также для приводя к

Можно также построить комплексные тензоры как элементы множеств I (или или ), где каждый элемент есть выражение вида

причем а величина есть постоянный скаляр, удовлетворяющий условию

Элементы множества есть отображения , где принимает значения

Следующие формулы наделяют структурой кольца: Элементы множества есть отображения где образ при отображении определяется по формуле Эти формулы удовлетворяют требованиям определения (4.1.11) для случая, когда дифференцирование действует на комплексные скаляры Множество есть модуль над Нетрудно видеть, что общий вид

I, полученный отсюда так же, как в гл. 2, § 2, приводит к элементам вида (4.1.30). Всюду в этом параграфе мы

стремимся иметь дело с множествами а не Однако должно быть ясно, что наши результаты верны не только для действительных, но и для комплексных тензоров.

В отличие от того, что говорилось вообще в гл. 2, § 2, мы имеем теперь дополнительную структуру, а именно интерпретацию элементов множества V (или ) как дифференцирований на алгебре скаляров. В этом можно видеть связующее звено между элементами базисного модуля и «соотношением между соседними точками», которое мы упоминали в начале параграфа. Дополнительная структура приводит нас к изучению определенных операций дифференцирования, таких, как градиент скаляра, производная Ли, внешняя производная, и некоторых других. Первую из них мы рассмотрим ниже, а обсуждение остальных отложим до § 2, где будет введено понятие связности. Оно позволит получить единую трактовку этих операций.