Свободные безмассовые поля

Как простой пример точной инвариантной системы рассмотрим безмассовое свободное поле со спином в пространстве Минковского М. Такое поле представляется одним симметричным спинором и [формула (5.7.2)] подчиняется полевому уравнению

Согласно формуле (5.7.16), это уравнение эквивалентно условию симметрии Рассмотрим теперь величину Операторы здесь коммутируют, а потому данное выражение будет симметричным по индексам как и по индексам следовательно, Симметрия по также следует из коммутативности операторов. Повторяя эти рассуждения для высших производных, в общем случае будем иметь

Таким образом, условие выполняется (тривиально), как и условие инвариантности. Поскольку соотношение (5.10.4) линейно, а производные коммутируют, все алгебраические соотношения, которым удовлетворяют производные (5.10.5) в точке Р, должны быть линейными. Такие соотношения с необходимостью будут возникать в виде линейных операций с индексами в (5.10.5) вследствие инвариантного характера уравнения (5.10.4). Но соотношение (5.10.5) выражает полную симметрию, а поэтому никакие другие соотношения не должны возникать. Таким образом, условие тоже выполняется и, следовательно, величины образуют инвариантную точную систему полей.

Рассмотренный пример охватывает максвелловское поле нейтринное поле Дирака—Вейля и линеаризованное эйнштейновское гравитационное поле в пространстве Минковского М (§ 7). Случай также следует отнести сюда, но в этом случае вместо уравнения (5.10.4) мы должны

иметь волновое уравнение второго порядка (уравнение Даламбера) в пространстве М

Это уравнение можно переписать в виде

причем из симметрии по следует (благодаря коммутативности производных) симметрия по индексам Таким образом, величина симметрична по индексам и т. е. Следовательно, в силу тех же соображений, что и выше, мы имеем

и поле образует инвариантную точную систему.

Возможно следующее обобщение (довольно тривиальное) уравнения для безмассового поля.

Пусть поле симметрично и удовлетворяет одновременно условиям в пространстве М

Тогда путем рассуждений, аналогичных проведенным выше, можно показать, что

и, значит, величины образуют инвариантную точную систему полей. Но это не дает существу ничего нового, так как имеется соотношение выражающее равенство нулю ротора, откуда (по крайней мере локально) следует, что можно представить в виде

Благодаря симметрии полей величины также удовлетворяют уравнениям (5.10.9). Повторяя рассуждения до тех пор, пока не будет исчерпан тот или иной набор индексов, приходим к следующему выводу.

Предложение

Если выполняются соотношения (5.10.9), то поле представляет собой производную некоторого свободного безмассового поля.