§ 13. Метод Картана

В конце § 5 мы сформулировали метод вычисления символов Кристоффеля, спиновых коэффициентов и т. д. с помощью символов Инфельда — ван-дер-Вердена а в § 11 и 12 показали, как спиновые коэффициенты можно использовать для вычисления кривизны. Однако формула (4.5.43), в которой спиновые коэффициенты выражаются через выглядит громоздко и сложна для практических расчетов. Иногда бывает полезен другой метод [123]. Он состоит в том, чтобы рассматривать уравнения для коммутаторов внутренних производных или (4.11.11), считая, что операторы действуют на компоненты метрического тензора. Метод связывает спиновые коэффициенты с производными от компонент метрического тензора и удобен в том случае, если удается подобрать систему координат для базиса изотропных тетрад, расположенного подходящим образом. Мы также изложим другой метод, связывающий спинорную технику с весьма эффективной картановой системой

исчисления дифференциальных форм и подвижного репера Картана. Эти методы не только элегантны по форме, но и часто упрощают практические расчеты.

Напомним, что в § 3 мы показали, что между исчислением дифференциальных форм и тензорным исчислением, использующим абстрактные индексы, существует связь, которая устанавливается с помощью правила отбрасывания индексов. В соответствии с этим правилом абстрактные индексы (именно в этом порядке при и т. д.) канонически приписываются дифференциальным формам, а в стандартных обозначениях Картана эти индексы следует опустить. Таким образом, комплексная -форма на Л есть полностью антисимметричный тензор

(Очевидно, что при Мы используем эти же обозначения для тензорно-значных и вообще спинорно-значных -форм [формула (4.3.11)]. Далее под -формой мы будем подразумевать спинорно-значную -форму, если нет дополнительных уточнений. При записи компонент -формы нижние индексы по которым форма кососимметрична, должны выписываться сразу за коренным символом, а остальные тензорные или спинорные индексы — справа от них. Например:

есть типичная -форма. Мы часто будем собирать все индексы, кроме в коллективный индекс или Я и т. д.; тогда -форма (4.13.2) может быть записана в виде Стандартный символ внешнего произведения «угол» также используется для спинорно-значных форм. По определению

отсюда прямо следует, что для -формы и -формы 0 выполняется соотношение

Внешнее ковариантное дифференцирование (-дифференциро-вание») определяется равенством

и дает -форму при действии на -форму. Отметим, что индекс оператора V, входящий в определение производной, специфически связан с в отличие от коллективного индекса. Отметим также, что в отличие от действия на обычные (скалярно-значные) -формы (4.3.14) эта операция, вообще

говоря, зависит от связности; чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай Если есть -форма, то в силу уравнения VII в формуле (4.3.15) мы имеем

Из формул (4.3.19) и (4.3.20) следует, что если введены локальные координаты то различные (дуальные) базисные формы могут быть записаны в виде

так что

где компоненты с индексами отнесены к координатному базису.

Вообще говоря, повторное -дифференцирование не дает нуль (как в случае скалярнозначных форм); например, мы имеем для векторнозначной -формы

где использованы формулы (4.2.33) и (4.2.37), а также принято обычное обозначение для 2-формы кривизны

Из (4.13.10) и из того, что -символы — константы, мы получаем (как в § 9) для -формы коэффициенты которой принимают значения в пространстве спин-векторов,

где есть 2-форма, определяемая равенством

Очевидно, что мы имеем

Формулы (4.13.9) и (4.13.11) можно обычным образом обобщить на формы высшей спинорной валентности, например:

Напомним операторы дуального преобразования (3.4.21), (3.4.29), (3.4.30) и определим для -форм дуальные им формы

Отметим, что повторное действие оператора дуального преобразования на -форму переводит ее в нее же с множителем [формулы (3.4.24), (3.4.31), (4.6.11)]. Далее, в силу формул (4.6.2) и (4.6.34) имеем

Следовательно, различные спинорные кривизны просто связаны с

Предположим, что выбран некоторый тензорный базис необязательно совпадающий с координатным базисом, использовавшимся в (4.13.7). Дуальный базис образует систему -форм; для них мы используем стандартные обозначения

Тогда -производная от этих форм имеет вид

где — величины (4.2.60). Величины 0 антикоммутируют в силу соотношения (4.13.6), а потому уравнение

может служить определением величин Обозначения для -форм связности

обычны во всем, кроме расположения верхнего индекса (см. примечание на стр. 321). Поэтому можно переписать (4.13.20) в виде

Из уравнения получаем

Следовательно, если предположить фиксированную нормировку для элементов тензорного базиса (4.13.19), например так что

то мы получим

[Данное условие отвечает выбору «подвижного репера» Картана, или, что эквивалентно, условию, чтобы были коэффициентами вращения Риччи. Эти соотношения следует сравнить с (4.4.36) и (4.5.5).] Тогда можно найти из (4.13.21), так как из (4.13.26) следует, что

В практических расчетах часто бывает проще не подставлять решения (4.13.21) в (4.13.27), а угадать или получить другим способом набор величин Гаьс» удовлетворяющий условиям (4.13.21) и (4.13.26). Ниже мы проиллюстрируем этот расчет в формализме спиновых коэффициентов. Для вычисления кривизны заметим, что

а также в силу формулы (4.13.9) (при ) и (4.13.6)

Таким образом, компоненты 2-формы кривизны можно вычислить, пользуясь выражением

[которое можно прямо связать с выражением (4.2.67); при этом нестандартный знак в формуле (4.13.30) обусловлен нестандартным расположением верхнего индекса в тензоре кривизны].