Определение спин-вектора

Теперь мы в состоянии дать геометрическое определение спин-вектора. Будем считать, что — изотропные флаги в пространство изотропных флагов. Нам нужно убедиться в том, что пространство на самом деле обладает требуемыми топологическими свойствами. Поскольку оно четырехмерно, оно не может быть топологически эквивалентно пространству (трехмерному) или (шестимерному). Тем не менее, как и в случае с , существенная часть топологии рассматриваемого пространства является той же самой, Что и пространства [Имеем , следовательно, Чтобы убедиться в этом, можно рассматривать -представление. Всякий элемент пространства представляется точкой Р на и ненулевым касательным вектором к в точке Р. Непрерывным (но не инвариантным) образом можно связать с декартову систему отсчета, если выбрать ось направленной от начала отсчета в точку Р, ось параллельно а ось у таким образом, чтобы она дополняла систему отсчета. Такая система отсчета однозначно соответствует точкам пространства Единственный свободный параметр, характеризующий есть и этот параметр представляет собой положительное действительное число и является топологически тривиальным, откуда вытекает, что 8 обладает требуемыми свойствами.

Итак, элементы пространства представляют собой спинор-ные изотропные флаги, отождествленные нами с (ненулевыми) спин-векторами V. Всякий изотропный флаг задает два связанных с ним спин-вектора Непрерывное вращение на угол будет переводить , а поскольку после повторения этого вращения возвращается обратно в мы пишем

как и положено в принятой системе обозначений. Вдобавок существует единственный нулевой спин-вектор, записываемый символом 0, который не отвечает какому-либо флагу. Нулевой

спин-вектор связан с нулевым мировым вектором, выполняющим для первого роль «флагштока», а «полотнище флага» не определено.

Пару можно в самом деле рассматривать как компоненты спин-вектора х. Спиновые преобразования, примененные к будут соответствовать активным движениям, преобразующим х относительно пространства V. Непрерывное вращение х на угол соответствует последовательности спиновых преобразований, действующих на и приводящих к Таким образом, пара фактически будет представлять собой компоненты спин-вектора как того и требует принятая система обозначений.