Неприводимость

Симметричные спиноры (в точке) интересны тем, что они неприводимы при преобразованиях из спиновой группы . Несмотря на то, что мы не будем подробно заниматься вопросами неприводимости тензоров, спиноров и т. д., несколько общих замечаний здесь не помешают. Допустим, мы хотим представить группу линейными преобразованиями векторного пространства , которое в таком случае будет называться пространством представления. Если пространство 8 можно рассматривать как прямую сумму:

где , такую, что преобразования, представляющие группу , переводят элементы подпространства в самих себя (неважно, что делается с элементами подпространства то говорят, что данное представление приводимо; в противном случае оно неприводимо. (Элементы пространства представления также называются [не]приводимыми относительно преобразований группы если представление группы на обладает указанным свойством.) Если 8 можно записать в виде конечной (или бесконечной) суммы

а преобразования действуют неприводимым образом на каждом подпространстве раздельно, то данное представление называется вполне приводимым.

Займемся теперь группой ограниченных преобразований Лоренца ее двукратным покрытием — спиновой группой . Для указанных групп можно показать [120], что произвольное конечномерное представление (т. е. представление на конечномерном векторном пространстве 8) является вполне приводимым и что всякое неприводимое представление может быть реализовано как преобразования, действующие (т. е. всякое неприводимое представление линейно изоморфно преобразованиям, действующим) на некоторый симметричный спинор (в точке) и порождаемые (порождаемым) спиновым преобразованием Следовательно, симметричные спиноры неприводимы относительно преобразований этих групп. Если некоторый симметричный спинор, то упомянутые преобразования

имеют следующий вид:

т. е.

Рассмотрим теперь матрицы компонент тензора т. е. матрицы но только с надлежащим исключением компонент, приводящих к одинаковым членам; например, произведение может быть разложено следующим образом:

и в общем случае идентичные строки и столбцы в и Г-матрицах могут быть опущены, а оставшиеся строки в Г-матрице умножаются на число появлений членов, на которые они действуют После этого Г-матрицы дают неприводимые матричные представления указанных групп. Таким образом, произвольное конечномерное представление группы или имеет пространство представления, являющееся прямой суммой пространств симметричных спиноров (в точке). Выражения спиноров через симметричные спиноры, полученные нами ранее в данном параграфе [формула (3.3.55)], по существу представляют собой примеры расщепления пространства на свои неприводимые части (поскольку каждая из таких частей преобразуется при спиновых преобразованиях в себя). Однако это и не единственный, и не самый общий способ образовывать прямую сумму. С формальной точки зрения можно также связать воедино спиноры с различной структурой индексов, как это сделано, например, в случае дираковских спиноров или твисторов (т. 2, приложение; гл. 6, § 1), когда пара рассматривается как единый четырехкомпонентный объект и мы можем написать

Существует и другой способ выражения того факта, что симметричные спиноры в точке обладают свойством неприводимости. Такие спиноры в определенном смысле насыщены симметрией: если налагаются какие-либо дополнительные соотношения симметрии, то либо не происходит потери информации, либо мы получаем выражение, равное нулю. Такая ситуация, возможно, оказывается более прозрачной в случае тензоров.

Очевидно, что всякий полностью симметричный или полностью антисимметричный тензор неприводим и в этом смысле «насыщен». Но то же самое справедливо и по отношению к тензору с симметриями типа симметрий тензора Римана [формулы (4.3.53) -(4.3.56)]:

К примеру, дополнительная симметризация

«не приводит к потере информации», поскольку

Но . Здесь мы имеем пример симметрии, отвечающей схеме Юнга.

В теории схем Юнга [2031 (см. также [194]) неприводимые тензоры строятся (и классифицируются) следующим образом. Сначала налагают условие симметрии по некоторой группе индексов, а затем полученный тензор «насыщают» антисимметрией. Применение всех последующих операций (анти) симметризации либо не приводит к потере информации, либо дает нуль. В качестве примера симметрии, отвечающей схеме Юнга, запишем для случая разделения на (4, 3, 1):

и определим

Смысл последнего символа заключается в том, что мы сначала производим симметризацию по индексам , а затем — антисимметризацию по (Мы записываем наборы симметризованных индексов в порядке их длины.) Теперь тензор 5а «полностью насыщен» симметриями и неприводим. К примеру, тензор Рнмана характеризуется в точности следующей симметрией, отвечающей схеме Юнга (хотя это и не сразу очевидно):

Однако схемы не дают однозначную реализацию всех неприводимых симметрий. Например, тензор (где обладает «симметрией» и неприводим; то же самое относится к тензору однако ни один из этих тензоров не имеет симметрии, отвечающей схеме Юнга, но вместе с тем тензор имеет симметрию, отвечающую схеме и на основании ее сам теизор может быть переписан в виде «эквивалетном» схеме. В том же самом смысле второй тензор эквивалентен схеме с симметрией в в явном обозначении. Произвольный неприводимый

тензор в этом смысле эквивалентен тензору с симметрией, отвечающей схеме Юнга.

Можно дать элегантный вывод числа независимых компонент произвольного объекта с симметрией, отвечающей схеме Юига. Нарисуем две таблицы, состоящие из квадратов в соответствии с видом набора симметризованных индексов — иапример, для — следующим образом:

В первой таблице на главной диагонали стоит (размерность векторного пространства на последующих диагоналях внизу стоят , а на последующих диагоналях сверху стоят На второй таблице в каждом квадрате стоит число, равное числу квадратов справа плюс число квадратов снизу плюс единица. Образуем произведение всех чисел первой таблицы и произведение всех чисел второй таблицы, а также разделим первое на последнее: результат будет равен искомому числу компонент. В случае тензора такая процедура почти мгновенно дает .

Полезно отметить, что схема Юнга может быть с равным успехом образована следующим образом: сначала антнсимметризуем столбцы индексов, а затем симметрнзуем строки. С точки зрения описанных двух способов построения одинаковые схемы не равны, а «эквивалентны». Таким образом, для применения описанного выше метода определения числа независимых компонент это соглашение несущественно.

Указанные два альтернативных типа неприводимого тензора находят удобную интерпретацию как «коэффициенты» двух различных видов «форм». Рассмотрим сначала теизор с симметрией, отвечающей схеме Юнга последнего вида, т. е. она симметрична, а не антисимметрична по своим соответствующим группам индексов. Например, такой теизор мог бы быть получен путем иового применения «горизонтальных» симметризаций в вышеприведенном определении тензора

(Последующие вертикальные аитиснмметризации привели бы снова к ненулевому кратному тензору ) В силу положения (8.3.23) информация, содержащаяся в тензоре является той же самой, что и информация, содержащаяся в полиномиальной функции (или «форме»)

С учетом равенства (3.3.21) мы можем переписать ее в виде

где вторая форма вытекает антисимметрии текаора причем

Функция «простых» кососнмметричиых тензоров [ср. с формулой (3.5.30) ниже] указанного (иерархического) вида дает нам альтернативную полиномиальную форму, отвечающую приведенной выше.

Тот факт, что функция Т может быть переписана с использованием указанных кососимметрнчных произведений, может быть выражен функциональным соотношением

(для всех дифференциальным уравнением

где выражения для частных производных допускают (если это необходимо) очевидное понимание в духе абстрактных индексов. На основе формулы (3.3.22) заключаем, что выписанные дифференциальные уравнения эквивалентны следующему условию: если какая-либо из горизонтальных симметрий в правой части выражения

расширена включением еще одного индекса внизу таблицы, то получающийся тензор равен нулю (например, Данное условие является (необходимым и) достаточным для того, чтобы тензор — симметричный по соответствующим группам индексов (т. е. горизонтальные симметрии предполагаются заданными) — обладал симметрией, отвечающей схеме Юнга. (Таким образом, в этом выражается наличие «скрытых» вертикальных антисимметрий.) Соответствующее утверждение останется справедливым для тензора также и в том случае, если «симметрию» и «антисимметрию»! надлежащим образом поменять местами.

Одним из преимуществ теории 2-слиноров является то, что в соответствии со сказанным ранее в данном параграфе нам следует рассматривать только симметрии, но не антисимметрии, так что в теории схем Юнга нет необходимости.

Когда говорят просто о неприводимости тензора безотносительно к конкретной группе, то под рассматриваемой группой понимают группу всех линейных преобразований Но если соответствующая группа является некоторой подгруппой группы , то возможны последующие разложения тензора. В случае группы Лоренца метрический тензор и обратный ему тензор суть инвариантные объекты, а потому возможны «обобщенные симметрии», для которых эти объекты используются с целью «разложить» тензор на меньшие части, причем последние не могут быть получены посредством наложения обычных симметрий. Важным примером служит разложение тензора Римана на три его части [тензор Вейля , скаляр Риччи и бесследовую часть тензора Риччи гл. 4, § 6 и 8], неприводимые относительно группы Лоренца; эти части возникают из требования, в дополнение к симметриям в обычном смысле, определенных условий на «след», таких, как

Если же группа Лоренца еще больше конкретизирована до ограниченной группы Лоренца, то возникают дополнительные инвариантные объекты, а именно еаьса и Указанные обобщенные симметрии могут оказаться в высшей степени сложными. Тем самым переход к спинорному описанию приведет к существенному упрощению.

О разложении тензора Римана с использованием спиноров говорится в гл. 4, § 6. Здесь мы рассмотрим кратко значительно более простую задачу, а именно прямой перевод симметричного спинора с равным числом нештрихованных и штрихованных индексов в тензор:

Очевидно, что тензор симметричен по своим тензорным индексам и имеет след, равный нулю:

Обратно, из (3.3.59) вытекает равенство

и, следовательно, левая часть равенства (3.3.61) кососимметрична по Однако в силу равенства (3.3.60) ее последующая свертка с должна давать нуль; следовательно, она равна нулю, откуда вытекает, что спинор , симметричен по . Аналогично, он симметричен по и т. д., и также по и т. д. Следовательно, он полностью симметричен. Отсюда вытекает, что условия (3.3.59) и (3.3.60) для тензора полностью эквивалентны симметрии (и тем самым неприводимости) спинора. Отметим также, что путем изложенных рассуждений легко установить число независимых комплексных компонент комплексного тензора подчиненного условиям (3.3.59) и (3.3.60). Оно равно когда тензор имеет тензорных индексов, поскольку очевидно, что спинор имеет столько же независимых компонент. (Набор может не содержать ни одного нуля, содержать один нуль и т. д. вплоть до нулей; таким образом, он может принимать «значений»; аналогичное рассуждение применимо к Указанный результат не так просто получить без спинорного

представления. Более того, попутно мы доказали следующее предложение.

Предложение:

Если спинор симметричен и имеет валентность , то число его независимых (комплексных) компонент равно