Потенциал Янга — Миллса и метрика

Теперь можно ввести [в близкой аналогии с определением (5.1.13)] потенциалы Янга — Миллса как

Множитель введен здесь для удобства в (часто встречающемся) случае группы унитарных (или псевдоунитарных) матриц. Действительно, тогда матрица оказывается эрмитовой в смысле равенства

Здесь принято соглашение, что действие комплексного сопряжения приводит к перемещению нижнего числового индекса V в верхнее положение и наоборот, например:

так что условие унитарности для приобретает вид

Умножая выражение (5.5.3) на комплексно сопряженную величину и свертывая по индексу Ф, мы приходим к выводу, что величина

не зависит от выбора стандартного базиса. Повторив эти выкладки применительно к соотношению (5.5.7), найдем, что переходит в себя при параллельном переносе. Следовательно,

что с учетом определяющего условия (5.5.16) дает

Свертывая обе части этого равенства с и используя соотношение (5.5.12), приходим к соотношению (5.5.13), что и требовалось.

Мы можем воспользоваться величиной (янг-миллсовской эрмитовой метрикой), а также соответствующей обратной матрицей чтобы избавиться от штрихованных ЯМ-индексов в случае, если — группа унитарных матриц. Например, если произвести подстановку

то мы получим эквивалентное ЯМ-заряженное поле. Принимая это соглашение, нужно помнить, что в результате комплексного сопряжения унитарные ЯМ-индексы могут переходить в противоположное положение, а не приобретать штрих (ср. также с обозначениями в твисторной теории, т. 2).

Калибровочные величины (вместе с комплексносопряженными, если необходимо) дают возможность приписывать компонентные значения любому ЯМ-заряженному полю; например, компоненты поля будут такими:

Та же процедура может применяться ко всем ЯМ-заряженным спинорным полям, приводя к набору компонентных спинорных полей, в точной аналогии с операцией (5.1.11) в электромагнитном случае. Если помимо этого задан спинорный (или тензорный) базис (совершенно независимо от выбора а), то можно также перейти к компонентам этих спинорных полей, так что окончательно все будет выражено через скалярные функции.

Если компонентные поля взяты по отношению к двум различным калибровочным функциям, то компонентные поля будут связаны преобразованием

как это следует из формулы (5.5.3) и двух соответствующих вариантов формулы (5.5.20), где — матрица обратная матрице

При выбранной калибровке а можно ввести дифференциальный оператор да, коммутирующий сам с собой в плоском пространстве-времени (а также в искривленном пространстве-времени, если он действует на ЯМ-заряженные скаляры) по аналогии с определением (5.1.14). Например,

(в унитарном случае), если не содержит ЯМ-индексов. Можно также написать выражение, аналогичное выражению (5.1.15),

но в него войдет довольно неестественное сочетание (зависящего от калибровки) потенциала с (калибровочно-инвариантными) абстрактными ЯМ-индексами. Поэтому мы предпочитаем написать соответствующее выражение, в которое входят только численные индексы так что все величины являются зависящими от калибровки. Например, имеем (при , не содержащем ЯМ-индексов),

развертывая правую часть этого равенства и свертывая обе части с чтобы получить компонентную запись, находим из (5.5.12)

Заметим, что под действием калибровочного преобразования (5.5.21) потенциал (5.5.12) будет претерпевать преобразование

которое совместно с преобразованием (5.5.21) сохраняет вид соотношения (5.5.24).