локальной спиновой системе отсчета 
. Полный бустовый вес подынтегрального выражения должен быть равен нулю, а спиновые веса функций 
должны быть одинаковы. Считая, что 
есть величина типа 
, а 
мы определяем
Выражения (4.15.70) и (4.15.67) согласуются друг с другом и оба являются частными случаями скалярного произведения
где 
таковы, что произведение 
есть величина типа 
[формула (4.15.3)].
Как нетрудно убедиться, скалярное произведение (4.15.71) (при тех значениях весов, при которых оно определено) обладает следующими стандартными свойствами:
Кроме того, мы имеем следующее:
Предложение
Если 
и 
— спиновые сферические гармоники, имеющие одинаковые спиновые веса 
и разные значения 
Доказательство. Это по существу обычное свойство собственных функций операторов. Если мы обозначим через 
и 
соответственно значения 
функций 
и 
то, используя формулы (4.15.54) и (4.15.55) дважды, а также (4.15.77) и (4.15.78), получим
откуда 
если 
Теперь мы явно вычислим 
для пары спиновых сферических гармоник, отвечающих одному и тому же значению 
когда 
и 
— спиновые гармоники типа 
соответственно. Можно написать
при 
где для симметрии введена величина
[Отметим, что значение 
соответствует выбору стандартной нормировки, в которой 
]. Выполняя комплексное сопряжение в (4.15.81), используя (4.15.44) и выражение, комплексно-сопряженное выражению (4.15.7), получаем
где
С учетом этих соотношений имеем
Поскольку 
постоянны, их можно вынести за знак интеграла, который затем вычисляется с помощью следующей леммы:
Лемма
Интеграл вычисляется явно с помощью формул (4.15.96) и (4.15.123), приведенных ниже. Лемму можно доказать, не вычисляя интеграл. Для этого заметим, что левая часть равенства (4.15.86) инвариантна относительно вращений сферы 
а потому инвариантна и правая часть. Следовательно, она должна быть сконструирована из величин 
с помощью спинорных операций и численных констант. Исключение штрихованных
индексов в 
с помощью соотношения
(
— единичный времениподобный вектор) приводит к тому, что 
выпадает, а оставшееся слагаемое пропорционально правой части равенства (4.15.86). Наконец, численная константа получается после вычисления следа в левой и правой части с учетом того, что
а след 
равен рангу матрицы (т. е. размерности пространства 
равной 
). Это следует из условия идемпотентности
и того, что след идемпотентной матрицы равен ее рангу. Подстановка (4.15.86) в (4.15.85) дает
Выписывая симметризацию явно и замечая, что симметрии величин 
приводят.к тому, что 
мы, наконец, получаем искомую формулу для скалярного произведения:
. В этом случае значения «конформных» весов 
и 
не существенны и мы можем вернуться к нашей первоначальной точке зрения, считая, что функции определены в точках поверхности 
(а не на сечении 
по отношению к
