Компоненты в базисе

Предположим, далее, что в существует базис Мы можем воспользоваться жирными буквами, пробегающими, как обычно, значения ли принять для таких индексов соглашение о суммировании. Таким образом, для элементов базиса может быть принято единое обозначение формула (2.3.1), выражающая вектор через его компоненты в этом базисе, может быть записана в виде

[Между символами индексов в этом выражении никакой взаимосвязи не существует. С равным успехом мы могли бы записать (2.3.5) в виде

Сопоставим базису из дуальный ему базис По определению базис осуществляет отображение из которое ставит в соответствие вектору его компоненту в базисе

Вследствие единственности и линейности разложения (2.3.1) соотношение (2.3.6) действительно определяет линейное отображение (для каждого из и таким образом дает хорошо определенный элемент множества . Полагая, что каждый из по очереди есть получаем

где есть -матрица элементов множества представляющих собой единичный скаляр, если и нулевой скаляр в противном случае (дельта-символ Кронекера).

Покажем теперь, что элементов из образуют базис в Мы должны установить, что всякий элемент из имеет единственное разложение в виде линейной комбинации величин . Для данного определим

Тогда для каждого имеем

Поскольку элементы действуя на произвольный элемент множества дают один и тот же скаляр, то . Таким образом, равенство (2.3.8) утверждает, что вектор может быть представлен в виде линейной комбинации величин

где

Чтобы показать, что данное разложение единственно, предположим, что элемент может быть представлен в виде (2.3.10), где Q не обязательно задается выражением (2.3.11). Образовав скалярное произведение вектора (2.3.10) с и воспользовавшись равенством (2.3.7), мы получим т. е. снова равенство (2.3.11). Требуемая единственность установлена.

Заметим, что компоненты вектора в дуальном базисе получаются путем взятия скалярных произведений с элементами исходного базиса. Это аналогично тому, что компоненты вектора в исходном базисе получались путем взятия скалярных произведений с элементами дуального базиса. Заметим, далее, что

в силу (2.3.5) и (2.3.11), так что скалярное произведение, выраженное через компоненты, имеет обычный вид.

До сих пор в данном параграфе мы не пользовались свойством модулей быть вполне рефлексивными, т. е. эквивалентностью тензоров типа I и типа II. Рассмотрим теперь компоненты тензоров общего вида и, как следствие, покажем, что свойство модулей быть вполне рефлексивными сохраняется независимо от базиса.

Если общий тензор типа I, то мы можем применить данное полилинейное отображение к элементам базиса и определить компоненты этого тензора:

Соотношение обобщает равенства (2.3.6) и (2.3.11). Называя такую совокупность тензором типа III относительно базиса (это определение носит предварительный характер; более строгое определение будет дано в § 4), мы видим, что для заданного базиса формула (2.3.13) задает отображение которое каждому тензору типа I ставит в соот ветствие единственный тензор типа III. Кроме того, из каждой такой совокупности мы можем образовать тензор типа II как сумму тензорных произведений

что обобщает равенства (2.3.5) и (2.3.10). Итак, мы располагаем отображением , которое ставит в соответствие каждому тензору типа единственный тензор типа II. Наконец, у нас уже есть стандартная схема -независимая от свойства модулей быть вполне рефлексивными или существования базисов — которая ставит в соответствие каждому тензору типа II единственный тензор типа I. Чтобы установить эквивалентность всех трех типов тензоров (и тем самым свойство модулей быть вполне рефлексивными), убедимся, что все три циклические перестановки рассматриваемых отображений

приводят к тождеству. Чтобы проверить первую из выписанных здесь циклических перестановок, начнем с тензора типа и применим последовательно формулы (2.3.13), (2.3.14) и (2.2.17), считая заключительное полилинейное отображение в формуле (2.2.17) содержащим свертки с получим

в силу формул (2.3.11), (2.3.6) и затем (2.3.10), (2.3.5). Чтобы убедиться в том, что вторая циклическая перестановка приводит к тождеству, начнем с совокупности и применим к ней формулу (2.3.14), а затем (2.2.17) вслед за (2.3.13). Применяя (2.2.17) вслед за (2.3.13), мы просто замещаем элементами базиса элементы на которые действует

полилинейное отображение, и получаем величину

представляющую собой в силу равенства (2.3.7) исходную совокупность Наконец, чтобы убедиться в том, что к тождеству приводит и третья циклическая перестановка, мы начнем с тензора типа II и применим (2.2.17) вслед за (2.3.13) (как и раньше), а затем (2.3.14); получим

в силу формул (2.3.10), (2.3.5), затем (2.3.7), а затем снова (2.3.10), (2.3.5). Таким образом, когда существует базис, свойство модулей быть вполне рефлексивными установлено: общий тензор с валентностью (типа I или II) находится в однооднозначном соответствии со своей совокупностью компонент (тип III) в силу взаимно-обратных соотношений (2.3.13) и (2.3.14).

Заметим, что тензоров

образуют базис в , поскольку каждый элемент модуля имеет в силу формулы (2.3.14) единственное разложение в виде линейной комбинации тензоров (2.3.18). Следовательно, -модуль имеет размерность Говорят, что частный базис (2.3.18) в индуцируется базисом

Если определить тензор как

то формулы (2.3.10), (2.3.11), (2.3.5) и (2.3.6) дадут

Возвращаясь к (2.2.43) и (2.2.44), мы видим, что каждое из этих соотношений говорит о том, что величина определенная формулой (2.3.19), является фактически той же самой, что

величина определенная формулами (2.2.41) — (2.2.44) независимо от базиса. Возвращаясь теперь к этому первоначальному определению величины не зависящему от базиса, мы можем утверждать, что равенства (2.3.19) и (2.3.7) вместе являются необходимым и достаточным условием для того, чтобы набор был базисом в (с дуальным базисом Действительно, равенство (2.3.19) [совместное (2.3.20) показывает, что представляет собой линейную комбинацию величин поскольку (2.3.7) устанавливает, что указанные компоненты однозначно задаются равенством (2.3.6). [Формальное сходство между формулами (2.3.7) и (2.3.19) не должно вводить нас в заблуждение: в равенстве (2.3.7) объединяется скалярных уравнений, тогда как (2.3.19) представляет собой одно тензорное уравнение. Несмотря на то, что различные величины с формальной точки зрения ведут себя очень похожим образом, в концептуальном отношении они сильно различаются]. Заслуживает быть отмеченным способ получения (2.3.14) с помощью соотношения

[полученного повторным применением (2.3.20)] и подстановки выражения (2.3.19) для каждого

Свяжем тензоры типа III, рассмотренные здесь, с тензорами, о которых говорилось в § 1. Определение тензора, использованное в § 1, основано на трансформационных свойствах при изменении базиса. Рассмотрим два базиса в , а именно Базис, дуальный базису есть он удовлетворяет соотношению где — опять обычный дельта-символ Кронекера. В соответствии с нашей системой обозначений в случае, когда компоненты берутся относительно базиса или индексы компонент должны нести крышку, но опорные символы, к которым относятся указанные индексы, остаются без изменения. Таким образом, Это правило остается в силе и в том случае, когда мы рассматриваем компоненты элементов одного базиса относительно другого. Таким путем мы получаем две -матрицы скаляров, задаваемых равенствами

Величины отвечают, соответственно, величинам и Т, входящим в формулы (2.1.6) — (2.1.8). (Использование здесь символов Кронекера не должно нас смущать: такие символы

рассматриваются как обычные дельта-символы Кронекера только в том случае, когда оба жирных индекса относятся к одному и тому же типу.) Матрицы по существу являются обратными друг другу в чем нетрудно убедиться. Действительно, для каждого вектора компоненты относительно базиса связаны с компонентами относительно базиса соотношениями

которые можно сравнить с отображением (2.1.8). Аналогичным образом компоненты общего тензора относительно базиса могут быть связаны с компонентами этого же тензора относительно соотношением

[Чтобы получить это соотношение, мы просто «вставляем» элементы базиса в (2.3.14).] Оно представляет собой не что иное, как закон преобразования (2.1.6) компонент тензора. Таким образом, независимо от существования базиса определение тензора, данное в § 1, действительно согласуется с определениями, использованными здесь. [Несмотря на то, что интерпретация и на этот раз другая, равенство (2.3.24) формально напоминает равенства (2.3.13), (2.3.14) и (2.3.21). Во всех этих случаях дельта-символ заменяет один индекс

В компонентном представлении операции сложения, тензорного произведения, замены индексов и свертки имеют такой же вид, как и в представлении абстрактных тензоров, за тем исключением, что все индексы теперь жирные. Таким образом, компоненты суммы в базисе равны компоненты тензорного произведения равны компоненты равны и компоненты равны Все приведенные утверждения являются прямыми следствиями определений и согласуются с операциями § 1. Таким образом, полная алгебра абстрактных тензоров идентична алгебре совокупностей тензорных компонент; единственное различие здесь заключается в интерпретации соответствующих величин. Может показаться, что одно лишь различие в интерпретации — недостаточное оправдание для использования в индексах букв из двух алфавитов. Но в гл. 4 мы увидим, что когда вводится дифференцирование, то сходство исчезает и упомянутые два типа индексов

ведут себя совершенно различно. То, что имело характер чисто концептуальных различий в случае тензорной алгебры, естественным образом приводит к существенным формальным отличиям в тензорном или спинорном исчислении.