§ 2. Изотропные флаги и комплексные изотропные векторы

Выше всякий раз, когда мы хотели интерпретировать спинор (или спинорную операцию) на основе представления о пространстве-времени, мы должны были полагаться на подробное геометрическое рассмотрение, проведенное в гл. .1. Но мы можем выбрать и другой путь рассуждений, основанный на предположении об абстрактном существовании спиноров, образующих алгебру, описанную в гл. 2, § 5. Содержащиеся среди этих спиноров действительные спиноры (§ 1) идентифицируются с мировыми тензорами. Представляется небезынтересным, что при использовании спинорной алгебры можно очень быстро получить геометрическую интерпретацию спин-вектора как изотропного флага на основе упомянутых выше мировых тензоров. Приводимое ниже рассмотрение представляет собой частный случай общего метода интерпретации спиноров на основе мировых тензоров, который будет изложен в § 4.

В дальнейшем предположим для простоты рассуждений, что наборы состоят из спиноров, взятых только в одной точке так что представляет собой двумерное векторное пространство. Пусть

Тогда наиболее простым мировым тензором, который может быть построен из одного лишь спинора будет мировой вектор

Действительность вектора очевидна; также очевидным является утверждение об изотропности вектора поскольку

По существу, всякий действительный изотропный мировой вектор имеет либо вид (3.2.2), либо вид

Этот вывод следует из утверждения о том, что произвольный комплексный мировой вектор является изотропным, а именно

в том и только в том случае, если он представим в виде

Действительно, принимая (3.2.6), имеем если вектор действителен. Свертка с дает , а поэтому в силу (2.5.56) спинор должен отличаться множителем от (за исключением случая . Таким образом, , где должно быть действительным. Если мы введем и получим (3.2.2). Если мы введем , соответственно, получим (3.2.4). (Если , то мы получаем оба из рассматриваемых выше соотношений.)

Обратно, заметим, что уравнение (3.2.5) может быть переписано в спинорной форме

левая часть которой представляет собой удвоенный определитель матрицы (в компонентах: Равенство этого определителя нулю означает, что ранг матрицы меньше 2, т. е. есть тензорное произведение вида (3.2.6) двух спин-векторов. (В произвольной заданной спиновой системе Отсчета доказанное в компонентах утверждение, очевидно, справедливо. Следовательно, оно справедливо независимо от спиновой системы отсчета.)

Заметим, далее, что наличие спинорной системы порождает абсолютное различие двух изотройных конусов в рассматриваемой точке Р. Действительно, мы можем определить направленные в будущее и направленные в прошлое изотропные векторы как такие, для которых, соответственно выполняется условие (3 2.2) или (3.2.4) . Отсюда ясно, что скалярное

произведение двух направленных в будущее изотропных векторов или двух направленных в прошлое изотропных векторов должно быть положительным (либо равным нулю, если они пропорциональны), а скалярное произведение двух изотропных векторов, относящихся к различным классам, должно быть отрицательным (либо равным нулю, если они пропорциональны), как это и требуется (гл. 1, § 1). [Указанный выбор согласован с тем, что вектор из (3.1.20) является направленным в будущее.] Таким образом, если мы переходим к рассмотрению спинорных полей на то глобальное требование (1.5.1) (выполнение для условия ориентируемости во времени) должно выполняться.

Соотношение (3.2.2) показывает, что произвольным отличным от нуля спин-вектором единственным образом определяется направленный в будущее изотропный вектор, который мы называем его флагштоком. При этом, однако, много различных спин-векторов имеют один и тот же флагшток, поскольку мировой вектор [формула (3.2.2)] допускает свободу преобразований

Чтобы получить более полную тензорную реализацию спинора чем реализация, которая дается формулой (3.2.2), мы можем образовать из «квадрат» Затем, для того чтобы штрихованных индексов получилось столько же, сколько и нештрихованных, мы умножим наш «квадрат» на указанная процедура приведет к комплексному мировому тензору. Чтобы получить из этого комплексного мирового тензора действительный мировой тензор, мы добавим к нему его комплексно-сопряженный:

При этом будем иметь

Далее, тензор «простой», т. е. он представим в виде

где — произвольный вектор вида

прячем

Чтобы убедиться в справедливости соотношения (3.2.11), заметим, что, поскольку образуют спиновую систему отсчета, из (2.5.54) вытекает

Теперь (3.2.11) получается в результате подстановки (3.2.14) в (3.2.9).

Вектор обладает следующими свойствами: он действительный, пространственноподобный с длиной и ортогональный вектору

Он задается тензором с точностью до вектора, равного произведению на действительное число. В самом деле, при

[преобразование вектора оставляющее (3.2.13) инвариантным] имеем

Векторы, отличающиеся от таких векторов умножением на положительное число, лежат на (двумерной) полуплоскости, проходящей через начало отсчета векторного пространства Минковского которое (ввиду того что вектор ортогонален изотропному вектору является касательным к световому конусу в причем указанное касание осуществляется вдоль линии, образуемой векторами, отличающимися от умножением на число (рис. 3.1). Эта полуплоскость есть полотнище флага спинора (Легко проверить согласованность приведенного построения с построением, выполненным в гл. 1, § 4.)

Фазовое преобразование (3.2.8) может рассматриваться как преобразование, отвечающее повороту полотнища флага вокруг флагштока на угол 20. Действительно, полагая

мы видим, что

Таким образом, в результате преобразования (3.2.8) [которое, чтобы сохранить (3.2.13), должно быть дополнено преобразованием вектор поворачиваясь в -плоскости на угол 20, переходит в вектор (3.2.19). Заметим также, что в результате преобразования флагшток умножается на а полотнище флага остается неизменным.

Рис. 3.1. Изотропный флаг, представляющий спинор и его связь с векторами

Небезынтересно отметить, что это дает нам прямой способ получить конформную структуру пространства изотропных направлений будущего, выпущенных из начала отсчета в Произвольный слин-вектор определяет точку К пространства (направление флагштока), а также касательное направление к в К (направление полотнища флага). Два касательных направления и в одной и той же точке К, принадлежащей могут быть заданы, соответственно, спин-векторами при некотором Угол между и получится тогда равным . Располагая инвариантным понятием угла на мы тем самым имеем инвариантно определенную конформную структуру для (Конечно, построения гл. 1 также достигают этой цели, но здесь конформная структура возникает непосредственно из интерпретации спин-векторов.)

Упомянутая конформная структура дает также инвариантно определенную ориентацию пространства и, следовательно, пространства-времени . В справедливости сделанного утверждения можно убедиться следующим образом. Мы можем определить направление правой ориентации на просто постулировав, что при вращении полотнища флага в этом направлении возрастает [см. замечания перед формулой (1.5.2)]. (Данное определение согласуется с тем, что тетрада из (3.1.20) является правой.) Заметим опять-таки, что переход к спинорному полю приводит к глобальному ограничению на пространство-время а именно, в дополнение к ориентируемости во времени, должно быть ориентируемым в пространстве. Следовательно, как топологическое многообразие

пространство-время должно быть ориентируемым в пространстве и во времени) [формула (1.5.2)].

Заметим, что каждое из соотношений (3.2.2) и (3.2.9) инвариантно относительно преобразования

Если это преобразование осуществляется непрерывным образом за счет изменения от 0 до в то полотнище флага совершает один полный оборот на угол и возвращается в свое исходное состояние, поскольку, очевидно, является спинорным объектом (гл. 1, § 5). Таким образом, переход к спинорным полям также приписывает пространству-времени- спинорную структуру [формула (1.5.3)]. Следовательно, наш алгебраический подход, будучи применен к спинорным полям (как это будет в гл. 4), требует, чтобы пространство-время обладало спинорной структурой (гл. 1, § 5).