Символы Инфельда — ван дер Вердена

Заметим, что мы позволили себе использовать базис в отличающийся от индуцируемого нашим базисом в [формула (2.3.18)]. Часто бывает удобно воспользоваться указанным произволом. Одна такая возможность возникает, когда мы вводим в явном виде действительную координатную систему . Тогда зачастую удобно выбрать координатный базис для модуля касательного векторного поля к , т. е. для модуля В общем случае такой базис не будет иметь никакой связи с произвольным базисом в Таким образом, представляет интерес одновременное рассмотрение базисов в (или ), которые полностью независимы один от другого.

Пусть — базис и дуальный базис в и пусть, далее, независимые базис и дуальный базис в Тогда

произвольный мировой тензор можно выразить через компоненты относительно или, рассматривая его как через компоненты относительно Взаимосвязь между этими двумя наборами компонент выражается с помощью символов Инфельда — ван дер Вердена, определяемых следующим образом:

Отметим, что свертывание осуществляется по индексам , а по индексам свертывания нет. Таким образом, каждое уравнение (3.1.37) эквивалентно 16 скалярным уравнениям. Подчеркнем, что в соответствии с нашими правилами свертывание осуществляется только: а) по идентичным индексам всех типов (например, ) и б) по абстрактному собирательному индексу и одной из его неявных составных частей (например, ). Мы можем рассматривать символы Инфельда — ван дер Вердена просто как «дельта-тензор» Кронекера которого каждый из индексов относится к своему (отличному от другого) типу базиса. Из (3.1.37) получаются формулы

которые представляют собой в точности частные случаи формулы (2.3.24).

Поскольку мы выбрали , этот базис является действительным и

а это означает, что всякая матрица эрмитова. [Заметим, что в соответствии с соглашением, сформулированным после уравнения (2.5.64), мы избегаем пользоваться двойным индексом под чертой комплексного сопряжения в соотношении (3.1.40) и полагаем численно Аналогично, каждая из матриц эрмитова. Отсюда вытекает, что если — произвольный действительный мировой тензор, то его спинорные (диадные) компоненты

должны образовывать эрмитов набор в том смысле, что

Условие «действительности» спинора, в общем случае не имеет смысла, поскольку правая и левая его части относятся к несравнимым спинорным модулям (например, и . Но в случае спиноров, имеющих валентность типа это условие имеет смысл и приобретает важное значение. Напомним, что по определению

поэтому, если

то мы получаем

Имеется определенная несогласованность в двух терминологиях, касающихся спинора, который удовлетворяет совершенно эквивалентным условиям (3.1.41) (с действительным и (3.1.43). В то время как из (3.1.41) и (3.1.42) вытекает, что спинор следует называть «эрмитовым», из (3.1.43) и уже устоявшейся терминологии для мировых тензоров вытекает, что следует называть «действительным». Мы принимаем здесь тот вариант, который представляется нам логически компромиссным, и говорим, что спинор эрмитов, а термин «действительный» оставляем для соответствующих элементов самосопряженных множеств удовлетворяющих равенству (3.1.7), т. е.

Таким образом, «действительный» означает «равный своему комплексно сопряженному».

Основное уравнение, которому удовлетворяют символы Инфельда — ван дер Вердена, представляет собой покомпонентную запись фундаментального соотношения (3.1.9а), т. е.

или, что эквивалентно

Эквивалентность равенств (3.1.45) и (3.1.46) устанавливается на основе соотношений

Другое уравнение, которое часто используется вместо (3.1.45) благодаря его связи с уравнением для дираковских у-матриц в антикоммутативной «алгебре Клиффорда», записывается следующим образом:

Оно получается из (3.1.45), потому что если прибавить к (3.1.45) то же самое уравнение, в котором поменять местами то получится антисимметричное по А и В выражение, свернутое с Производя затем умножение на и воспользовавшись (2.5.22), мы сможем перенести нештрихованное в другую часть уравнения. Это приводит к (3.1.48). Обратно, исходя из (3.1.48) и сворачивая затем с мы снова получим (3.1.45).

Если воспользоваться стандартной тетрадой Минковского отнесенной к спиновой системе отсчета [формула (3.1.20)], и принять для определения (3.1.25), а для — определения (3.1.26), то мы получим

как нетрудно видеть из сравнения (3.1.31) с Матрицы (3.1.49), если не обращать внимания на множитель представляют собой знакомые нам спиновые матрицы Паули и единичную матрицу.

Иногда бывает удобно рассматривать базис который обладает тем свойством, что не все его элементы действительны. Такая ситуация может возникать в случае координат: ного базиса, если используются комплексные координаты в

пространстве-времени Другим примером может служить изотропная тетрада тогда мы имеем:

Поскольку не все векторы теперь действительны, не все матрицы должны быть эрмитовыми. В общем случае комплексного базиса выполняются, как и раньше, все соотношения (3.1.37)-(3.1.48), кроме условия эрмитовости (3.1.40).