Электромагнитные источники

Рассмотрим теперь поле Максвелла с источниками. Вместо уравнения (5.10.4) (при ) будем иметь [формула (5.9.10)]

где величины описывают заданный вектор тока, удовлетворяющий уравнению непрерывности

Вместо соотношения (5.10.5) теперь имеем

и т. д. для высших производных: несимметризованная производная отличается от сим метризованной членом, линейным по производным от . Это свойство, а также вытекающий отсюда вывод, что поля образуют точную систему, доказываются так же, как и в случае отсутствия источников, с тем существенным изменением, что при перестановке пары индексов теперь будут появляться члены, зависящие от поскольку мы заменили уравнение (5.10.4) уравнением с источником (5.10.11).

Однако теперь поля сами по себе, очевидно, не образуют инвариантной точной системы, поскольку в соотношениях (5.10.13) и (5.10.14) появляются дополнительнее величины Правда, можно рассматривать как динамическое поле, но и тогда вместе не будут в свете сделанных определений образовывать точную систему. Действительно, соотношение (5.10.12) фиксирует лишь часть величины кососимметричную по индексам и Часть же, симметричная по и кососимметричная по например, остается неопределенной. Чтобы получить точную систему полей, необходимо наложить дополнительные условия на Это можно сделать разными способами, но наибольший интерес представляет задание в качестве вектора тока некоторого физического поля (или полей), скажем, дираковского или поля Щредингера — Клейна — Гордона.

Рассмотрим вначале случай дираковского поля. В двухкомпонентном спинорном формализме (4.4.66) поле Дирака

представляется в виде совокупности двух спиноров удовлетворяющих системе уравнений

где — масса, постоянная Планка, деленная на . В отсутствие электромагнитного взаимодействия можно принять, что операторы V коммутируют. Нетрудно убедиться в том, что вместе образуют точную систему полей. Кроме того, если ввести электромагнитное взаимодействие посредством определения (5.1.1), так чтобы имели один и тот же заряд и определить дираковский вектор тока

где — заряд с некоторым положительным коэффициентом, точное значение которого зависит от соглашения о нормировке дираковской волновой функции (например, обычный выбор нормировки дает то уравненйя Максвелла (5.10.11) принимают вид

и поля вместе, будут образовывать инвариантную точную систему полей. Это можно показать точно так же, как и выше, с тем усложнением, что изменение порядка производных теперь будет сопровождаться появлением членов, содержащих [формула (5.1.43)]. Например:

Аналогично рассматривается случай поля Шредингера — Клейна — Гордона , но теперь вместо соотношений (5.10.15) и (5.10.17) имеем [формула (5.10.6)]

а вектор тока будет пропорционален разности так что

Снова поля вместе образуют инвариантную точную систему.

Существует другой способ описания заряженных полей, требующий явного введения электромагнитного потенциала Ф, понимаемого как новое поле. При таком подходе вместо будет стоять оператор, обозначенный в формулах (5.1.1) и (5.1.14) через он действует на заряженные поля так, как если бы они были незаряженными, и коммутирует сам с собой. Если сохранить для производной, понимаемой в указанном смысле, тот же символ электромагнитное взаимодеиствие будет вводиться заменой этого оператора оператором В результате в уравнениях (5.10.15) и (5.10.20) появится величина в качестве нового поля. Чтобы получить точную систему полей, нам придется наложить дополнительное условие на например условие Лоренца Тогда [формула (5.1.49)] будем иметь Мы также имеем [формула откуда Используя эти соотношения, нетрудно показать, что поля образуют инвариантную точную систему; то же самое относится к полям

Этот второй подход, пожалуй, немного проще в концептуальном отношении, нежели использование соотношений (5.10.15) с некоммутативными операторами V, и он удобен во многих задачах. Однако в духе принятой нами общей идеологии более последовательно было бы не вводить явно в рассмотрение зависящие от выбора калибровки величины, такие, как . В случае электродинамики калибровочно-инвариантный формализм действительно приводит к более простым [например, (5.10.19)] формулам, нежели метод явного введения Более того, теорий в искривленном пространстве-времени, по-видимому, удается развить в рамках данного формализма только благодаря существованию калибровочно-инвариантного способа описания (т. е. описания, не зависящего от выбора конкретной системы координат).

Рассмотрим вначале систему полей в заданном римановом фоновом пространстве-времени. Величины связанные с тензором кривизны (гл. 4, § 6), и их производные считаются заданными в произвольной точке О. Эти величины входят в перестановочные соотношения для V [формулы (4.9.7) и (4.6.34) ]. Некоторые точные системы полей, обладающие этим-свойством в плоском пространстве-времени, могут быть перенесены в искривленное пространство-время просто путем учета добавочных членов [формулы (4.9.13) и (4.9.14)], возникающих при перестановках индексов. Например, в случае

максвелловского поля вместо соотношения (5.10.5) будем иметь

и т. д. и величины будут образовывать точную систему полей. Но она, очевидно, уже не будет инвариантной. Лишь в пространстве де Ситтера (или Минковского), когда А есть заданная постоянная, а эта система будет инвариантной. Уравнения Максвелла — Дирака можно переписать в искривленном пространстве-времени аналогичным образом; мы снова будем иметь точную систему полей. Уравнение же для безмассовых полей (5.7.2) при уже не будет в том виде, в котором оно записано, приводить к точной системе полей если только заданное пространство не является конформно-плоским, поскольку условие совместности (5.8.2) показывает, что не все величины независимы при отличном от нуля