Тензоры

Определим теперь тензоры произвольной валентности Фактически мы дадим два различных определения, следствием чего будут два разных понятия тензора. Условием того, что эти два понятия совпадают, и фиксируется как вполне

рефлексивный модуль. В § 3 мы продемонстрируем эквивалентность между этими двумя определениями и определением (2.1.6) в случае, когда предполагается существование конечного базиса.

Первое бескоординатное определение тензора (будем называть его тензором типа I) опирается на понятие полилинейного отображения. Возможно, это наиболее естественное продолжение того, что мы делали раньше. Выберем два любых конечных непересекающихся подмножества множества меток скажем и элементами, соответственно. Теперь определим тензор валентности как -полилинейное отображение:

Это означает, что всякому набору тензор типа I ставит в соответствие скаляр

причем эта функция -линейна отдельно по каждой переменной, т. е.

для всех и

с соответствующими свойствами для каждой из оставшихся переменных Будем писать (2.2.10) просто как

Множество всех таких тензоров обозначим через Заметим, что это определение в случае совпадает с уже данным, а в случае тривиально совпадает с определением скаляра. В случае же это определение благодаря предполагаемой рефлексивности по сути дела снова дает исходный модуль

Перейдем ко второму бескоординатному определению тензора — к определению тензора типа II. Снова выберем два непересекающихся конечных подмножества множества скажем лишь бы оба не оказались пустыми.

Рассмотрим все формальные выражения, представляющие собой конечные (коммутативно-ассоциативные) суммы формальных (коммутативно-ассоциативных) произведений элементов, по одному из каждого набора Такого рода выражение можно записать в виде

Однако не все такие формальные выражения следует считать различными, даже если формально они различны. Критерием эквивалентности двух таких выражений является возможность обращения одного в другое с помощью соотношений вида

и

где, конечно, же, можно снова воспользоваться коммутативной и ассоциативной природой сумм и произведений. Формальные выражения (22.14) вместе с указанным отношением эквивалентности и есть тензоры типа II.

Любым тензором типа II определяется тензор типа I, если задать полилинейное отображение в следующей форме:

Ясно, что правая часть этого соотношения принадлежит [суммы и произведения здесь являются обычными операциями (2.2.2), определенными на а в круглые скобки заключены скалярные произведения (2.2.8)]. Этим, очевидно, определяется -полилинейное отображение. К тому же из (2.2.4) — (2.1.7) следует, что два любых таких выражения, которые можно считать эквивалентными в силу либо равенства (2.2.15), либо равенства (2.2.16), либо ассоциативной и коммутативной природы сумм и произведений, приводят к такому же полилинейному отображению. Таким образом, любому тензору типа II соответствует единственный тензор типа I.

В то же время не ясно, можно ли получить таким путем все тензоры типа I и приводят ли два произвольных различных [неэквивалентных в смысле (2.2.15) и (2.2.16)] тензора типа II к двум различным же тензорам типа I. И в самом деле, в случае общего (рефлексивного) модуля не имеет места ни одно из этих весьма желательных свойств. Однако впредь мы будем предполагать, что модуль вполне рефлексивный. Это означает, во-первых, что всякий тензор типа I при таком подходе возникает из тензора типа II, а во-вторых, что он возникает (при этом подходе) именно из одного тензора типа . В то же время наше предположение, что модуль вполне рефлексивный, означает эквивалентность обоих типов тензоров. Как мы увидим в дальнейшем, для того, чтобы модуль был вполне рефлексивным, достаточно (но отнюдь не необходимо) существования конечного базиса для

Отметим, что рефлексивные модули являются частью вполне рефлексивных модулей. Элементы множества если их рассматривать как тензоры типа I, следовало бы на самом деле отнести не непосредственно к исходному модулю а к дуальному Но элементы исходного модуля и есть тензоры типа II. Поэтому, для того, чтобы эти два типа тензоров согласовывались друг с другом, модуль должен бытъ рефлексивным.

Критерий эквивалентности формальных выражений (2.2.14), установленный для тензоров типа И, оказывается не очень удобным при попытках его непосредственного использования, в особенности если возникает необходимость в доказательстве неэквивалентности двух выражений, относящихся к типу II. Предположение, что модуль — вполне рефлексивный, позволяет дать альтернативный и простой критерий эквивалентности двух выражений типа (2.2.14). Именно: два таких выражения эквивалентны в том и только в том случае, если для всякого набора две соответствующие правые части равенств (2.2.17) равны между собой.