Электромагнитный потенциал

Посмотрим теперь, как можно найти потенциал и оператор да, зная оператор Аналогично выбору координатного базиса здесь нужно выбрать некоторое произвольное, всюду

отличное от нуля поле а Тогда можно по определению ввести потенциал

который, очевидно, будет представлять собой незаряженное поле, поскольку оператор сохраняет заряд. Соответствующий оператор да можно тогда определить его действием на спинор с зарядом

так что в силу выражения (5.1.11) имеем

[cp. с формулой (5.1.1)]. Из последнего уравнения можно (полагая видеть, что оператор да действует на так же, как действует на незаряженный спинор т. е. как элементарная ковариантная производная. Оператор да играет роль, аналогичную роли координатной произврдной в стандартной теории. Он удовлетворяет требованию аддитивности и правилу Лейбница. В плоскода пространстве-времени даже в присутствии электромагнитного поля мы имеем

Это непосредственно следует из сказанного после формулы (5.1.15) или из определения (5.1.14) и того, что оператор в этом определении действует на незаряженные поля, а значит, операторы коммутируют [формула (4.2.59)]. В искривленном пространстве-времени оператор содержит часть, связанную с кривизной, но не имеет электромагнитной части.

Если поле а выбрано так, что выполняется условие

то мы будем называть а калибровочной функцией. [Если первоначально условие (5.1.17) не выполняется, то его выполнения можно добиться путем замены есть положительное незаряженное скалярное поле, если поле а нигде не обращается в нуль, а потому величина хорошо определена.] Для любой калибровочной функции а будем иметь

следовательно, поле действительно:

Точно так же можно показать, что при любом выборе калибровочной функции а оператор да действителен в том смысле, что

Это следует из определения (5.1.14), свойства (5.1.8), соотношения и действительности оператора

Калибровочная функция а осуществляет отображение любого заряженного поля (с зарядом ) в незаряженное поле согласно правилу

так что, например, по отношению к некоторому базису могут быть найдены численные значения. (Напомним, что заряженные скалярные поля не имеют канонических численных значений.) Таким образом, чтобы указать компоненты заряженных полей, необходимо выбрать и базис, и калибровочную функцию. Нетрудно убедиться, что действие оператора да переходит в действие оператора при отображении (5.1.20).

При замене калибровочной функции а новой калибровочной функцией а незаряженное поле, в которое Ф отображается по закону (5.1.20), претерпевает калибровочное преобразование

где — действительный незаряженный скаляр, определенный (возможно, только локально) соотношением

и мы соответственно этому будем иметь

а также

Заметим, что соотношение (5.1.23) имеет обычный вид калибровочного преобразования в электромагнитной теории.

Следует отметить, что в обоих (электромагнитном и гравитационном) случаях имеются «калибровочные преобразования; второго рода». Это такие преобразования калибровочной функции, которые не изменяют соответствующего оператора

В электромагнитном случае они, очевидно, таковы: где — действительная постоянная [если опустить условие действительности, то изменится лишь нормировка (5.1.17) функции а, но ни одно из нижеследующих соотношений]. В гравитационном случае эти преобразования являются линейными неоднородными преобразованиями координат , где — действительные постоянные матрицы, причем . В некоторых случаях имеет смысл потребовать, чтобы матрица была матрицей собственного преобразования Лоренца. Тогда выбор «калибровки» (т. е. выбор координат) будет соответствовать отображению пространства-времени в пространство Минковского, симметрии которого сохраняются при данном изменении калибровки. Процедура такого типа применяется в «лоренц-ковариантной» формулировке общей теории относительности.