Максвелловский тензор поля

Рассмотрим теперь коммутатор

Будем предполагать, что кручение отсутствует, т. е. для незаряженного скалярного поля выполняется условие

Предположим, что где и а нигде не обращается в нуль. Тогда существует такое, что

Из принятых аксиом, как и в случае (4.2.15), (4.2.16), следует, что оператор удовлетворяет требованиям аддитивности и правилу Лейбница, а потому для любого натурального Таким образом, в силу формул (5.1.26) и (5.1.27)

т. е.

Если положить

то будем иметь

Соотношение (5.1.30) показывает, что в противоположность определению (5.1.13), в определении (5.1.29) не существен выбор калибровочной функции а. Будем называть максвелловским тензором или тензором электромагнитного поля (ассоциируемым с оператором

Если ее есть некоторое произвольное заряженное спинорное поле, то справедливо следующее предложение:

Предложение

Величина отличается от результата действия коммутатора на незаряженное поле лишь дополнительным членом

Это утверждение можно также записать в виде формулы

в которой первое слагаемое в правой части ковариантно, хотя сами операторы да зависят от калибровки. Для доказательства достаточно заметить, что если то в силу правила Лейбница мы имеем

и, следовательно,

Поскольку поле незаряженное, величина представляет собой коммутатор элементарных ковариантных производных. Обратившись к соотношению (4.2.33) или к и (49.13), мы получаем наше утверждение. Например [формула (4.2.32) ]:

Исследуем теперь некоторые свойства тензора Прежде всего, из определения (5.1.29) явствует, что этот тензор кососимметричен:

и, поскольку оператор V «сохраняет заряд», представляет собой незаряженное поле. Далее, так как для всякого — действительно), в силу соотношения (5.1.30) имеем

Выполнив комплексное сопряжение с учетом действительности обобщенной ковариантной производной сопоставив по лученное равенство с (5.1.30), находим

т. е. поле действительно. Наконец, путем выкладок, аналогичных выкладкам (4.2.40), которые приводили к тождествам в

Бианки, для получим

Но в то же время [формула (5.1.34)]

Если вычесть эти выражения одно из другого, учесть (4.2.37) и разделить на то мы получим

Альтернативный вывод этого уравнения опирается на соотношение между при определенном выборе калибровочной функции а. Взяв ротор от

[формулы (5.1.13), (5.1.29)], находим

Уравнение (5.1.36) теперь непосредственно вытекает из (5.1.37), будучи одним из частных случаев тождества для внешних производных [равенство VIII в формуле (4.3.15)].

Соотношение (5.1.37), разумеется, то же самое, что и обычное соотношение между тензором поля и 4-потенциалом в теории Максвелла. Оно означает, что если то (по крайней мере локально) потенциал можно представить в виде градиента где X — действительное незаряженное общем случае этого сделать нельзя, хотя на первый взгляд может показаться, что формулой (5.1.13) потенциал

определяется в такой форме; дело в том, что для заряженного поля а не существует незаряженного скалярного поля вида ковариантная производная от которого давала бы Если два различающихся потенциала удовлетворяют требованию (5.1.37), то ; следовательно, разность по крайней мере локально) есть градиент где — действительное и незаряженное поле. Таким образом, в силу соотношений (5.1.23) и (5.1.22) существует (локально) некоторая калибровочная функция а, приводящая к любому наперед заданному потенциалу, который удовлетворяет требованию (5.1.37).

Уравнение (5.1.36) представляет собой первую «половину» уравнений Максвелла. Если определить вектор тока заряда (в гауссовых единицах) соотношением

То оно будет второй половиной. (Эти два уравнения лежат в основе классической теории Максвелла.) Заметим, что вектор имеет нулевой заряд. [В этом нет парадокса, как могло бы показаться: — это «ток», содержащий заряженные поля и комплексно-сопряженные им поля в билинейных комбинациях; см. формулу (5.10.16) ниже.]