Спинорные базисы

В гл. 1 [формула (1.6.22)] было введено понятие спиновой системы отсчета. Такая система отсчета представляет собой пару спин-векторов нормированных условием . В силу формулы (2.5.17) это условие мы можем теперь записать в виде

или, что эквивалентно,

Ввиду антисимметрии внутреннего произведения мы имеем также

Пусть Мы видели [формула (1.6.24)], что вследствие тождества (1.6.19) [т. е. (2.5.18)] условие нормировки (2.5.39) означает, что

где

Более того, любая пара для которой выполняется равенство (2.5.42), должна задаваться формулой (2.5.43), что следует из соотношений (2.5.39) — (2.5.41) после свертки обеих частей равенства (2.5.42) с

Таким образом, существованием и единственностью соотношения (2.5.42) устанавливается, что пара . И образует базис в Условие нормировки (2.5.39) само по себе является достаточным для того, чтобы сделать указанный вывод, как мы только что видели. Если мы воспользуемся результатами по параллелизуемости, упомянутыми выше в § 3 [см. также формулу (1.5.6)] (предполагая некомпактность пространства-времени), то можем получить, что поле спиновой системы отсчета существует глобально, так что условие действительно может выполняться для некоторых Очевидно, что если нас интересуют спиноры в одной точке или спиноры в некотором достаточно малом открытом подмножестве пространства-времени, то мы можем предполагать наличие спиновой системы отсчета. И только когда мы рассматриваем топологическую структуру пространства-времени как целого, глобальное существование спиновой системы отсчета может оказаться под вопросом.

Часто бывает удобно (как в § 3) применять единый символ для обозначения базиса в . [Использование буквы «е», а не «б», согласуется с равенством (2.5.10).] Тогда мы можем положить

Компоненты спинора относительно данного базиса равны

где

Таким образом, условие, эквивалентное условию нормировки (2.5.39) для спиновой системы отсчета, заключается в том, что компоненты величины должны образовывать обычный символ Леви-Чивиты. Очевидно, что любой базис нетрудно преобразовать в спиновую систему отсчета, если оставить без изменения, а заменить величиной . Более общий спинорный базис, для которого величина не обязана быть единицей, будет называться здесь диадой.

Дуальный базис должен удовлетворять соотношению

(так что есть фактически кронекеровский дельта-символ Компоненты величины должны удовлетворять соотношению [формула таким образом, для общей диады

Сравнивая (2.5.47) с (2.5.39) — (2.5.41), мы видим, что если базис является спиновой системой отсчета, то

В общем случае

Это согласуется с формулой (2.5.43) для компонент спинора в некой спиновой системе отсчета. Компоненты

спинора в данной спиновой системе отсчета связаны в этом случае с компонентами спинора формулой (2.5.7), т. е.

Заметим, что для некой спиновой системы отсчета

Далее, формулы могут быть представлены в виде

в спиновой системе отсчета а в произвольном базисе

Единственное требование, которому должны удовлетворять чтобы они образовывали базис в (не обязательно спиновую систему отсчета), заключается в том, что они должны быть линейно-независимы во всех точках, т. е. ни в одной из точек один из спиноров не должен быть кратен другому. Другим путем это можно выразить так: величина [формула (2.5.46)] не должна нигде обращаться в нуль (т. е. существует ). Действительно, если образуют базис, то компоненты спинора в произвольной точке не могут все обращаться в нуль (поскольку спинор нигде не обращается в нуль), а потому из (2.5.45) следует в произвольной точке. Обратно, из (2.5.41) очевидно, что величина должна обращаться в нуль в каждой точке, в которой один из спиноров кратен другому. Мы можем установить следующий тесно связанный с нашими рассуждениями результат:

Предложение

Условие в некоторой точке является необходимым и достаточным для того, чтобы в этой точке получались друг из друга путем умножения на скаляр.

Следовательно, во всякой точке, в которой скаляр обращается в нуль при необходимом и достаточном условии, что направления флагштоков спиноров совпадают.

При заданном базисе наиболее естественно выбрать в качестве базиса в базис, состоящий из элементов, комплексно-сопряженных элементам именно так мы всегда и будем делать. Предположим, что — спиновая система отсчета и что пара . И задана формулой (2.5.44). Можно написать

где, как и раньше, в случае мы ввели новые символы чтобы уменьшить число черточек в выражениях. (Иногда бывает целесообразно опускать индексы при записи некоторых выражений. В таких случаях черточки следует восстановить.) Дуальный базис связан с соотношением

и мы имеем

Отметим, что (в случае спиновой системы отсчета)

Компоненты произвольно заданного спинора получаются путем свертывания с элементами базиса (не обязательно нормированного):

Восстановление спинора по его компонентам осуществляется при помощи формулы

Как и в общем случае с тензорами, все операции сложения, тензорного произведения, замены индексов и свертывания коммутируют с операцией взятия компонент. Операция комплексного сопряжения также коммутирует с операцией взятия компонент, т. е.

(напомним: базис в выбран так, что он комплексно-сопряжен базису в причем черта в левой части равенства означает, что комплексное сопряжение применяется к каждому скаляру последовательности, а черта справа — что операция

комплексного сопряжения применяется к спинору самому по себе до вычисления его компонент. Из равенства (2.5.64) мы видим, что в соотношениях для компонент спинора, содержащих черту сопряжения над всем символом (и только в этих соотношениях) необходимо считать, что численно. Следовательно, важно избегать употребления сразу обоих индексов А и А или обоих индексов В и В и т. д. под знаком черты сопряжения. Однако в силу равенства (2.5.64), вообще говоря, можно, обходиться без символов с чертой сопряжения над индексами.

Компоненты произвольного спинора, содержащего только нижние индексы, могут быть получены путем умножения на . И для каждого численного индекса соответственно, так что это нетрудно запомнить. Например:

В случае спинора, содержащего некоторые верхние индексы, мы можем вспомнить, что при наличии спиновой системы отсчета выполняются равенства

после чего применить (2.5.65).

Посмотрим, наконец, как компоненты спинора преобразуются при изменении базиса [формулы (2.3.22) — (2.3.24)]. Пусть и — два базиса в . Далее, пусть — соответствующие дуальные базисы и пусть — соответственно комплексно-сопряженные базисы и комплексносопряженные дуальные базисы. Введем матрицы

Мы видим, что матрицы и обратны друг другу, тогда как суть матрицы, комплексно-сопряженные

указанным двум матрицам. Свернем теперь (2.5.63) с соответствующим базисом дуальным базисом елА или базисом, комплексно-сопряженным по отношению к данным. Получим

Соотношение (2.5.69) задает закон преобразования компонент спинора при преобразовании одного произвольного базиса в другой. Обычно нас интересует только тот случай, когда оба базиса образуют спиновые системы отсчета. В этом случае каждая из матриц совпадает с символом Леви-Чивиты [формула (2.5.45) при и мы получаем

откуда вытекает, что комплексная матрица является унимодулярной. Таким образом, она представляет собой спин-матрицу, и, следовательно, то же относится к матрицам Соотношение (2.5.69) дает теперь обычную форму закона преобразования для компонент спинора.