Дуальное преобразование

Теперь рассмотрим произвольный антисимметричный (возможно, комплексный) мировой тензор валентности иногда называемый бивектором:

В спинорной форме

откуда следует представление

В силу формулы (2.5.23) мы имеем

где

Отметим, что спиноры и оба симметричны ввиду равенства (3.4.15). Заметим также, что если спиноры и произвольны (но симметричны), то соответствующий тензор согласно выражению (3.4.17), должен быть кососимметричным по Из (3.4.17) находим

Таким образом, операция соответствует перестанови спиноров Следовательно, если тензор действителен, мы имеем и

И наоборот, из возможности такого представления следует действительность тензора Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие [в силу первого из равенств (3.4.18) и выражения (3.4.20)] между действительными бивекторами и симметричными спинорами . Важный пример такого соответствия дает тензор электромагнитного поля Максвелла (гл. 5, § 1). [В компонентном представлении шесть действительных величин несут ту же информацию, что и три комплексные величины Связь между ними дается формулами (5.1.59) и

По определению дуальный образ (не обязательно действительного) бивектора есть

Таким образом, применяя формулу (3.3.44) к тензору (3.4.17), получаем

Мы видим, что дуальному отображению в спинорном формализме отвечает перестановка пары спинорных индексов с последующим умножением на Из этих формул [а также из (3.3.45)] следует, что дважды дуальный бивектор равен первоначальному со знаком минус:

Разумеется, можно определить дуальное отображение на любой паре индексов, по которым теизор кососимметричен. Например, если то можно определить как

В этой связи полезна следующая лемма (индекс заменен индексом ):

Для доказательства мы сначала заметим, что [формула (3.3.43)]

а также

Можно ввести операции дуального отображения на одном или трех индексах. Пусть — произвольный тензор, а Каься — тензор, кососимметричный по с; тогда мы определяем

Легко показать так же, как это сделано выше, что

и (с заменой на и на )

Используя (3.3.31), мы получаем следующие спинорные формы записи для (3.4.29) и (3.4.30):

Возвращаясь к тензору рассмотрим два случая:

В первом случае мы говорим, что тензор антисамодуален, а во втором — тензор самодуален. Ввиду (3.4.23), эти условия эквивалентны следующим:

Компактно это можно записать так:

Ненулевой самодуальный или антисамодуальный бивектор обязательно комплексный. Очевидно, что величина, комплексно-сопряженная самодуальному бивектору, будет антисамодуальной, и наоборот. Если — произвольный комплексный бивектор, то тензор

будет акгысамодуальным, а тензор

будет самодуальным Следовательно, всякий бивектор (однозначно) представляется в виде суммы антисамодуального и самодуального бивекторов:

кроме того, если — действительный бивектор, то эти слагаемые комплексно сопряжены друг другу. Альтернативные необходимые и достаточные условия того, чтобы бивектор был (I) антисамодуалъным или (II) самодуальным, имеют вид (I) соответственно. При этом

Дуальный поворот определяется следующим образом:

В силу определений (3.4.38) и (3.4.39) получаем

Таким образом, в общем случае, операция соответствует операциям т. е. переходу . Если бивектор действителен, то преобразованию отвечает

отображение (т. е. отображение ). Заметим, что бивектор есть частный случай бивектора при

Существует ряд свойств (анти) самодуальных бивекторов, которые легко усматривается в спинорном представлении, но которые далеко не столь очевидны в тензорном формализме. Если — произвольный антисамодуальный бивектор, а — произвольный самодуальный бивектор, то, например,

Уравнение (3.4.44) легко проверить, используя как тензорный, так и спинорный подход, но уравнение (3.4.45) гораздо проще получить, используя спиноры. Обе части этого уравнения равны просто

где . Очевидно также, что существует взаимно однозначное соответствие между величиной (3.4.46) и тензором

Чтобы перейти от (3.4.46) к (3.4.47), достаточно умножить (3.4.46) на — а затем переставить В с С и Таким образом, от сверток в уравнении (3.4.45) можно перейти к тензорному произведению (3.4.47), а затем выделить тензоры с точностью дб множителя. В тензорном же представлении эти перестановки индексов отнюдь не являются простыми операциями. Мы вскоре сформулируем общий метод представления таких спинорных операций на тензорах. Для решения задачи, сформулированной выше, можно использовать проекционный («unscrambler») оператор Робинсона:

С помощью спиноров нетрудно показать, что

Пример, имеющий отношение к равенству (3.4.45) — доказательство эквивалентности различных представлений для электромагнитного тензора энергии-импульса [формула (5.2.3) | которое проводится гораздо проще в спинорном формализме, чем в тензорном.