Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Дуальное преобразование

Теперь рассмотрим произвольный антисимметричный (возможно, комплексный) мировой тензор валентности иногда называемый бивектором:

В спинорной форме

откуда следует представление

В силу формулы (2.5.23) мы имеем

где

Отметим, что спиноры и оба симметричны ввиду равенства (3.4.15). Заметим также, что если спиноры и произвольны (но симметричны), то соответствующий тензор согласно выражению (3.4.17), должен быть кососимметричным по Из (3.4.17) находим

Таким образом, операция соответствует перестанови спиноров Следовательно, если тензор действителен, мы имеем и

И наоборот, из возможности такого представления следует действительность тензора Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие [в силу первого из равенств (3.4.18) и выражения (3.4.20)] между действительными бивекторами и симметричными спинорами . Важный пример такого соответствия дает тензор электромагнитного поля Максвелла (гл. 5, § 1). [В компонентном представлении шесть действительных величин несут ту же информацию, что и три комплексные величины Связь между ними дается формулами (5.1.59) и

По определению дуальный образ (не обязательно действительного) бивектора есть

Таким образом, применяя формулу (3.3.44) к тензору (3.4.17), получаем

Мы видим, что дуальному отображению в спинорном формализме отвечает перестановка пары спинорных индексов с последующим умножением на Из этих формул [а также из (3.3.45)] следует, что дважды дуальный бивектор равен первоначальному со знаком минус:

Разумеется, можно определить дуальное отображение на любой паре индексов, по которым теизор кососимметричен. Например, если то можно определить как

В этой связи полезна следующая лемма (индекс заменен индексом ):

Для доказательства мы сначала заметим, что [формула (3.3.43)]

а также

Можно ввести операции дуального отображения на одном или трех индексах. Пусть — произвольный тензор, а Каься — тензор, кососимметричный по с; тогда мы определяем

Легко показать так же, как это сделано выше, что

и (с заменой на и на )

Используя (3.3.31), мы получаем следующие спинорные формы записи для (3.4.29) и (3.4.30):

Возвращаясь к тензору рассмотрим два случая:

В первом случае мы говорим, что тензор антисамодуален, а во втором — тензор самодуален. Ввиду (3.4.23), эти условия эквивалентны следующим:

Компактно это можно записать так:

Ненулевой самодуальный или антисамодуальный бивектор обязательно комплексный. Очевидно, что величина, комплексно-сопряженная самодуальному бивектору, будет антисамодуальной, и наоборот. Если — произвольный комплексный бивектор, то тензор

будет акгысамодуальным, а тензор

будет самодуальным Следовательно, всякий бивектор (однозначно) представляется в виде суммы антисамодуального и самодуального бивекторов:

кроме того, если — действительный бивектор, то эти слагаемые комплексно сопряжены друг другу. Альтернативные необходимые и достаточные условия того, чтобы бивектор был (I) антисамодуалъным или (II) самодуальным, имеют вид (I) соответственно. При этом

Дуальный поворот определяется следующим образом:

В силу определений (3.4.38) и (3.4.39) получаем

Таким образом, в общем случае, операция соответствует операциям т. е. переходу . Если бивектор действителен, то преобразованию отвечает

отображение (т. е. отображение ). Заметим, что бивектор есть частный случай бивектора при

Существует ряд свойств (анти) самодуальных бивекторов, которые легко усматривается в спинорном представлении, но которые далеко не столь очевидны в тензорном формализме. Если — произвольный антисамодуальный бивектор, а — произвольный самодуальный бивектор, то, например,

Уравнение (3.4.44) легко проверить, используя как тензорный, так и спинорный подход, но уравнение (3.4.45) гораздо проще получить, используя спиноры. Обе части этого уравнения равны просто

где . Очевидно также, что существует взаимно однозначное соответствие между величиной (3.4.46) и тензором

Чтобы перейти от (3.4.46) к (3.4.47), достаточно умножить (3.4.46) на — а затем переставить В с С и Таким образом, от сверток в уравнении (3.4.45) можно перейти к тензорному произведению (3.4.47), а затем выделить тензоры с точностью дб множителя. В тензорном же представлении эти перестановки индексов отнюдь не являются простыми операциями. Мы вскоре сформулируем общий метод представления таких спинорных операций на тензорах. Для решения задачи, сформулированной выше, можно использовать проекционный («unscrambler») оператор Робинсона:

С помощью спиноров нетрудно показать, что

Пример, имеющий отношение к равенству (3.4.45) — доказательство эквивалентности различных представлений для электромагнитного тензора энергии-импульса [формула (5.2.3) | которое проводится гораздо проще в спинорном формализме, чем в тензорном.

1
Оглавление
email@scask.ru