Гравитация

В общей теории относительности как таковой ситуация несколько иная. Здесь величины, связанные с тензором кривизны, следует рассматривать как полевые переменные. Степени свободы гравитационного поля описываются конформным спинором Чдвсс. Величины выражаются непосредственно через материальные поля и, возможно, через космологическую постоянную А, посредством соответствующих тензоров энергии-импульса [формула (4.6.30)]:

В частности, уравнения Эйнштейна — Максвелла (с космологической постоянной X) будут иметь вид [формула (5.2.6)]

а тождества Бианки [формула (5.2.7)] станут такими:

Ниже будет показано, что вместе с уравнениями Максвелла без источников (5.1.57) и перестановочными соотношениями (4.9.13) и (4.9.14) равенства (5.10.24) и (5.10.25) ведут к условиям, означающим, что величины образуют инвариантную точную систему полей. Существуют и многие другие источники

гравитационного поля, которые вместе с Рдвсо образуют инвариантные точные системы.

Рассмотрим вначале уравнения Эйнштейна для пустого пространства (с космологическим членом или без него). Покажем, что в этом случае сами величины образуют инвариантную точную систему полей. Для доказательства этого нам потребуются вакуумные тождества Бианки (4.10.9)

и тождества Риччи, отвечающие равенству

[формула (4.9.7) с учетом формул (4.6.29) и (4.6.34)] и сопряженному ему равенству

Их можно представить в форме

Рассмотрим теперь спиноры

Путем дифференцирования уравнений (5.10.26) получим набор тождеств, из которых следуют алгебраические соотношения между спинорами (5.10.31):

Это условие равенства нулю части спинора кососимметричной по индексам , ничего не говорит о части, симметричной по . Далее, соотношения (5.10.29) связывают выражение

с производными от лвсо более низкого порядка, а соотношения (5.10.30) связывают выражение

с производными низшего порядка от Чвсс. Эти соотношения также касаются лишь частей спинора кососимметричных по паре штрихованных или паре нештрихованных индексов. Таким образом, все алгебраические соотношения [вытекающие из соотношений (5.10.26), (5.10.29) и (5.10.30)], которые связывают спиноры (5.10.31) и спиноры, комплексно-сопряженные им, относятся лишь к частям спинора кососимметричным хотя бы по одной паре индексов. Они не налагают никаких ограничений на части, полностью симметричные по всем штрихованным и по всем нештрихованным индексам. [Другие соотношения можно было бы получить, разлагая кососимметричные части спинора двумя различными способами. Однако все такие соотношения ведут к соотношению (5.10.32), которое является единственным условием совместности.] Следовательно, все спиноры

и спиноры, комплексно-сопряженные им, алгебраически независимы и потому могут быть заданы произвольно (если не касаться вопроса о сходимости, см. примечание на стр. 446) в любой выбранной точке Р.

Остается показать, что, наоборот, все спиноры (5.10.31) можно вывести алгебраически из спиноров (5.10.33) и спиноров, комплексно-сопряженных им. Воспользуемся методом математической индукции. Нам нужно выразить спинор через и производные от Члвсо более низкого порядка, предполагая по индукции, что эти последние уже выражены алгебраически через симметризованные производные и комплексно-сопряженные им. Если сложить все спиноры, получаемые из всевозможными перестановками индексов то мы получим с некоторым коэффициентом. Следовательно, если удастся доказать, что всякий из получаемых таким путем спиноров отличается от слагаемыми, содержащими лишь производные от более низкого порядка, то мы и придем к желаемому результату. Тем самым будет установлено, что спинор отличается от Чгля некоторым слагаемым, построенным из производных от низшего порядка.

Любые два спинора, получаемые путем такой перестановки индексов из величины

будут называться эквивалентными (эквивалентность обозначается тильдой если они отличаются друг от друга слагаемым, построенным из производных от Чдвсс более низкого порядка. Такое соотношение, очевидно, будет отношением эквивалентности. Требуется доказать, что все полученные таким путем спиноры эквивалентны друг другу. Поскольку

[формула (4.9.1)], имеем, применяя соотношения (5.10.29) и

Следовательно, любая перестановка символов приводит к эквивалентному спинору. (Любая перестановка может быть представлена в виде произведения перестановок соседних элементов.) Это значит, что любая перестановка индексов может быть проведена в выражении при условии, что выполняется аналогичная перестановка индексов и она дает эквивалентный спинор. Остается показать, что индексы можно переставлять независимо, снова получая эквивалентный спинор. Симметрия спинора дает возможность переставлять индексы . Далее, из уравнения (5.10.32) следует, что в выражении можно переставлять индексы . Кроме того,

т. e. индекс А можно переставлять с любым другим нештрихованным индексом, получая эквивалентный спинор. Отсюда следует, что можно переставлять любую пару нештрихованных индексов, поскольку

Следовательно, все спиноры эквивалентны, и наше утверждение доказано.